Considere a casca esférica homogênea de equacʒ̃o
.
Calcule o centro de massa da parte desta superficie que fica acima de
(onde
).
Calcule o centro de massa da parte desta superficie que fica acima de
Passo 1
O que o enunciado pede e o que dá:
- Pede o centro de massa da parte da casca esférica homogênea (superfície) que fica acima do plano
, com . - Dados fornecidos:
- A casca esférica tem equação
com . - Considera-se apenas a porção da superfície com
. - A casca é homogênea (densidade superficial constante).
- A casca esférica tem equação
- Objetivo final: encontrar as coordenadas do centro de massa dessa “cápsula” superficial.
Passo 2
Observação de simetria (reduzindo o problema):
- A porção considerada é simétrica em torno do eixo
(rotacionalmente simétrica em ). - Portanto, pelas simetrias, as coordenadas
e do centro de massa são zero: - Só é preciso determinar a coordenada
(a posição ao longo do eixo ).
Passo 3
Escolha de coordenadas e elemento de área da superfície:
- Usamos coordenadas esféricas (colatitude
medida a partir do eixo positivo , e azimute ): com e . - Uma pequena área de superfície na esfera de raio
é aproximadamente um retângulo de lados e , portanto o elemento de área é - A porção da superfície com
corresponde a pontos com , isto é onde definimos .
Passo 4
Expressão para a coordenada
(momento dividido pela massa/área):
- Para uma superfície de densidade superficial constante, a coordenada
é dada por onde as integrais são tomadas sobre a região da superfície com . - Em coordenadas esféricas, substituindo
e , temos:
Passo 5
Calcular o denominador (área da calota esférica):
- Calcule a integral em
: - Multiplicando pelos fatores externos:
- Logo
Passo 6
Calcular o numerador (momento em
):
- A integral em
envolve . Note que - Assim,
- Simplificando,
Passo 7
Expressar
e
em termos de
e
:
- Pelo comprimento geométrico, como definido no Passo 3,
. - Portanto
Passo 8
Substituir nas expressões e simplificar
:
- Numerador:
- Denominador:
- Assim
- Fatorando
e simplificando,
Passo 9
Interpretação e checagens rápidas:
- Resultado final simples:
- Verificações especiais:
- Se
(somente o ponto norte), então — coerente. - Se
(meia-esfera superficial), então — valor conhecido para casca hemisférica. - Se
(a porção é a esfera inteira), então — centro da esfera, coerente.
- Se
- Assim a coordenada do centro de massa é
.