Considere a casca esférica homogênea de equacʒ̃o x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}(a>0).
Calcule o centro de massa da parte desta superficie que fica acima de z=h (onde -a \leqslant h \leqslant a ).

Passo 1

O que o enunciado pede e o que dá:
  • Pede o centro de massa da parte da casca esférica homogênea (superfície) que fica acima do plano z=h, com -a \leqslant h \leqslant a.
  • Dados fornecidos:
    • A casca esférica tem equação x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2} com a>0.
    • Considera-se apenas a porção da superfície com z\ge h.
    • A casca é homogênea (densidade superficial constante).
  • Objetivo final: encontrar as coordenadas do centro de massa dessa “cápsula” superficial.

Passo 2

Observação de simetria (reduzindo o problema):
  • A porção considerada é simétrica em torno do eixo z (rotacionalmente simétrica em \theta).
  • Portanto, pelas simetrias, as coordenadas x e y do centro de massa são zero: \bar{x}=0,\qquad \bar{y}=0.
  • Só é preciso determinar a coordenada \bar{z} (a posição ao longo do eixo z).

Passo 3

Escolha de coordenadas e elemento de área da superfície:
  • Usamos coordenadas esféricas (colatitude \varphi medida a partir do eixo positivo z, e azimute \theta): x = a\sin\varphi\cos\theta,\quad y = a\sin\varphi\sin\theta,\quad z = a\cos\varphi,com 0\leqslant\theta<2\pi e 0\leqslant\varphi\leqslant\pi.
  • Uma pequena área de superfície na esfera de raio a é aproximadamente um retângulo de lados a\,d\varphi e a\sin\varphi\,d\theta, portanto o elemento de área é dS = a^{2}\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.
  • A porção da superfície com z\ge h corresponde a pontos com a\cos\varphi \ge h, isto é \cos\varphi \ge \frac{h}{a}\quad\Longrightarrow\quad 0\leqslant \varphi \leqslant \phi_{0},onde definimos \displaystyle \phi_{0}=\operatorname{arccos}\!\Big(\frac{h}{a}\Big).

Passo 4

Expressão para a coordenada \bar{z} (momento dividido pela massa/área):
  • Para uma superfície de densidade superficial constante, a coordenada \bar{z} é dada por \bar{z}=\frac{\displaystyle\iint_{S} z\,dS}{\displaystyle\iint_{S} dS},onde as integrais são tomadas sobre a região da superfície com z\ge h.
  • Em coordenadas esféricas, substituindo z=a\cos\varphi e dS=a^{2}\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta, temos: \text{numerador }= \iint_{S} z\,dS = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\phi_{0}} \big(a\cos\varphi\big)\big(a^{2}\sin\varphi\big)\,d\varphi\,d\theta,
\text{denominador }= \iint_{S} dS = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\phi_{0}} a^{2}\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.

Passo 5

Calcular o denominador (área da calota esférica):
  • Calcule a integral em \varphi: \int_{0}^{\phi_{0}} \sin\varphi\,d\varphi = 1-\cos\phi_{0}.
  • Multiplicando pelos fatores externos: \iint_{S} dS = a^{2}\cdot\bigg(\int_{0}^{2\pi} d\theta\bigg)\cdot\bigg(\int_{0}^{\phi_{0}}\sin\varphi\,d\varphi\bigg) = a^{2}\cdot 2\pi \cdot\big(1-\cos\phi_{0}\big).
  • Logo \iint_{S} dS = 2\pi a^{2}\big(1-\cos\phi_{0}\big).

Passo 6

Calcular o numerador (momento em z):
  • A integral em \varphi envolve \cos\varphi\sin\varphi. Note que \int_{0}^{\phi_{0}} \cos\varphi\sin\varphi\,d\varphi = \frac{1}{2}\int_{0}^{\phi_{0}} \sin(2\varphi)\,d\varphi = \frac{1}{2}\sin^{2}\phi_{0}.
  • Assim, \iint_{S} z\,dS = a^{3}\cdot\bigg(\int_{0}^{2\pi} d\theta\bigg)\cdot\bigg(\int_{0}^{\phi_{0}} \cos\varphi\sin\varphi\,d\varphi\bigg) = a^{3}\cdot 2\pi \cdot \frac{1}{2}\sin^{2}\phi_{0}.
  • Simplificando, \iint_{S} z\,dS = \pi a^{3}\sin^{2}\phi_{0}.

Passo 7

Expressar \sin^{2}\phi_{0} e \cos\phi_{0} em termos de h e a:
  • Pelo comprimento geométrico, como definido no Passo 3, \cos\phi_{0}=\dfrac{h}{a}.
  • Portanto \sin^{2}\phi_{0} = 1-\cos^{2}\phi_{0} = 1-\Big(\frac{h}{a}\Big)^{2} = \frac{a^{2}-h^{2}}{a^{2}}.

Passo 8

Substituir nas expressões e simplificar \bar{z}:
  • Numerador: \iint_{S} z\,dS = \pi a^{3}\sin^{2}\phi_{0} = \pi a^{3}\cdot\frac{a^{2}-h^{2}}{a^{2}} = \pi a\big(a^{2}-h^{2}\big).
  • Denominador: \iint_{S} dS = 2\pi a^{2}\big(1-\cos\phi_{0}\big) = 2\pi a^{2}\Big(1-\frac{h}{a}\Big) = 2\pi a\big(a-h\big).
  • Assim \bar{z}=\frac{\pi a\big(a^{2}-h^{2}\big)}{2\pi a\big(a-h\big)} =\frac{a^{2}-h^{2}}{2\big(a-h\big)}.
  • Fatorando a^{2}-h^{2}=(a-h)(a+h) e simplificando, \bar{z}=\frac{(a-h)(a+h)}{2(a-h)}=\frac{a+h}{2}.

Passo 9

Interpretação e checagens rápidas:
  • Resultado final simples: \bar{z}=\frac{a+h}{2}.
  • Verificações especiais:
    • Se h=a (somente o ponto norte), então \bar{z}=(a+a)/2=a — coerente.
    • Se h=0 (meia-esfera superficial), então \bar{z}=a/2 — valor conhecido para casca hemisférica.
    • Se h=-a (a porção é a esfera inteira), então \bar{z}=0 — centro da esfera, coerente.
  • Assim a coordenada do centro de massa é (0,0,\tfrac{a+h}{2}).

Resposta

\displaystyle \big(0,\,0,\,\frac{a+h}{2}\big)

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