Calcule
, onde
e
são as especificadas em cada caso.
e
é qualquer caminho simples que vai de
a
e que, à exceção dos extremos, está situado no semi-plano
.
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule a integral de linha
onde
e
é qualquer caminho simples que vai de
a
e que, à exceção dos extremos, está inteiramente no semi-plano
.
Informações relevantes dadas:
- A função é
. - O caminho
tem início em e fim em . - Exceto pelos extremos
e , todo ponto de satisfaz (ou seja, o caminho passa pelo semiplano direito). - O caminho é simples (não se cruza).
O que é pedido: calcular o valor numérico de
.
Passo 2
Ideia geral (explicada bem devagarinho): se eu encontrar uma primitiva (antiderivada)
de
definida em uma região que contenha toda a imagem do caminho
, então a integral ao longo de
é simplesmente
. Vou mostrar qual primitiva usar e por que ela é válida ao longo de
.
Lembrete prático sobre primitiva: se
é holomorfa e
numa região que contém o caminho, então
Esse é o análogo complexo do Teorema Fundamental do Cálculo; é a ferramenta que vou usar.
Passo 3
Qual primitiva podemos usar para
? Uma escolha natural é o logaritmo complexo. Vou usar a notação da rama principal:
onde
é o argumento principal em
. A função
satisfaz
em todo o domínio onde
é definido e holomorfo, isto é, em
(ou seja, o plano complexo com o semieixo real negativo removido). Esse domínio é aberto e contém todos os pontos com
e também contém os pontos
e
, porque nem
nem
pertencem ao semieixo real negativo.
Como o caminho
está inteiramente dentro do semi-plano direito, exceto nos extremos
e
(que também não estão no semieixo real negativo), toda a imagem de
fica contida em
. Logo, na região que contém
a função
é uma primitiva de
. Portanto posso aplicar o teorema da primitiva e obter
desde que eu use a mesma escolha contínua do argumento ao longo de
. Como
fica no semiplano direito, a variação do argumento ao longo de
vai de
para
sem atravessar a descontinuidade da rama principal (que está no semieixo real negativo).
Passo 4
Calcular
e
na rama principal.
Primeiro,
e
(na rama principal,
). Então
Segundo,
e
(ainda na rama principal). Então
Passo 5
Substituindo na expressão da integral:
Explicação alternativa curta (intuição): integrar
corresponde a medir a variação do argumento (mais precisamente,
vezes a variação do argumento). Ao mover-se de
(argumento
) até
(argumento
) pelo semiplano direito, o argumento sobe de
para
, variação total
; multiplicando por
dá
.
Passo 6
Observações finais para a prova (dicas úteis que convém lembrar):
- A integral de
depende do modo como o caminho envolve a origem: se o caminho contornasse a origem uma volta inteira, o resultado mudaria por vezes o número de voltas (winding number). Aqui isso não acontece porque o caminho fica inteiramente no semiplano direito — ele não dá volta inteira em torno de . - O motivo técnico que permitiu usar
como primitiva é que existe uma região aberta e simplesmente conexa (neste caso
ou mesmo apenas o semiplano direito ampliado) que contém o caminho e onde tem primitiva. Sempre verifique que a primitiva escolhida é bem definida e contínua ao longo do caminho.