Calcule \int_{C} f(z) d z, onde f e C são as especificadas em cada caso.
f(z)=\frac{1}{z} e C é qualquer caminho simples que vai de -i a i e que, à exceção dos extremos, está situado no semi-plano \operatorname{Re}(z)>0.

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a integral de linha
\int_{C} f(z)\,dz
onde f(z)=\dfrac{1}{z} e C é qualquer caminho simples que vai de -i a i e que, à exceção dos extremos, está inteiramente no semi-plano \operatorname{Re}(z)>0.
Informações relevantes dadas:
  • A função é f(z)=\dfrac{1}{z}.
  • O caminho C tem início em -i e fim em i.
  • Exceto pelos extremos -i e i, todo ponto de C satisfaz \operatorname{Re}(z)>0 (ou seja, o caminho passa pelo semiplano direito).
  • O caminho é simples (não se cruza).
O que é pedido: calcular o valor numérico de \displaystyle\int_{C}\dfrac{1}{z}\,dz.

Passo 2

Ideia geral (explicada bem devagarinho): se eu encontrar uma primitiva (antiderivada) F de f definida em uma região que contenha toda a imagem do caminho C, então a integral ao longo de C é simplesmente F\big(i\big)-F\big(-i\big). Vou mostrar qual primitiva usar e por que ela é válida ao longo de C.
Lembrete prático sobre primitiva: se F é holomorfa e F'=f numa região que contém o caminho, então
\int_{C} f(z)\,dz = F\big(z_{\text{fim}}\big)-F\big(z_{\text{início}}\big).í
Esse é o análogo complexo do Teorema Fundamental do Cálculo; é a ferramenta que vou usar.

Passo 3

Qual primitiva podemos usar para f(z)=\dfrac{1}{z}? Uma escolha natural é o logaritmo complexo. Vou usar a notação da rama principal:
\Log z = \ln|z| + i\,\Arg z,
onde \Arg z é o argumento principal em (-\pi,\pi). A função \Log z satisfaz \dfrac{d}{dz}\Log z = \dfrac{1}{z} em todo o domínio onde \Log é definido e holomorfo, isto é, em
\mathbb{C}\setminus (-\infty,0]
(ou seja, o plano complexo com o semieixo real negativo removido). Esse domínio é aberto e contém todos os pontos com \operatorname{Re}(z)>0 e também contém os pontos -i e i, porque nem -i nem i pertencem ao semieixo real negativo.
Como o caminho C está inteiramente dentro do semi-plano direito, exceto nos extremos -i e i (que também não estão no semieixo real negativo), toda a imagem de C fica contida em \mathbb{C}\setminus (-\infty,0]. Logo, na região que contém C a função \Log z é uma primitiva de 1/z. Portanto posso aplicar o teorema da primitiva e obter
\int_{C}\dfrac{1}{z}\,dz = \Log(i)-\Log(-i),
desde que eu use a mesma escolha contínua do argumento ao longo de C. Como C fica no semiplano direito, a variação do argumento ao longo de C vai de \Arg(-i) para \Arg(i) sem atravessar a descontinuidade da rama principal (que está no semieixo real negativo).

Passo 4

Calcular \Log(i) e \Log(-i) na rama principal.
Primeiro, |i|=1 e \Arg(i)=\dfrac{\pi}{2} (na rama principal, \Arg\in(-\pi,\pi)). Então
\Log(i)=\ln|i| + i\,\Arg(i) = \ln 1 + i\frac{\pi}{2} = i\frac{\pi}{2}.
Segundo, |-i|=1 e \Arg(-i)=-\dfrac{\pi}{2} (ainda na rama principal). Então
\Log(-i)=\ln|-i| + i\,\Arg(-i) = \ln 1 + i\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -i\frac{\pi}{2}.

Passo 5

Substituindo na expressão da integral:
\int_{C}\dfrac{1}{z}\,dz = \Log(i)-\Log(-i) = i\frac{\pi}{2} - \left(-i\frac{\pi}{2}\right) = i\pi.
Explicação alternativa curta (intuição): integrar 1/z corresponde a medir a variação do argumento (mais precisamente, i vezes a variação do argumento). Ao mover-se de -i (argumento -\tfrac{\pi}{2}) até i (argumento \tfrac{\pi}{2}) pelo semiplano direito, o argumento sobe de -\tfrac{\pi}{2} para \tfrac{\pi}{2}, variação total \pi; multiplicando por i i\pi.

Passo 6

Observações finais para a prova (dicas úteis que convém lembrar):
  • A integral de 1/z depende do modo como o caminho envolve a origem: se o caminho contornasse a origem uma volta inteira, o resultado mudaria por 2\pi i vezes o número de voltas (winding number). Aqui isso não acontece porque o caminho fica inteiramente no semiplano direito — ele não dá volta inteira em torno de 0.
  • O motivo técnico que permitiu usar \Log como primitiva é que existe uma região aberta e simplesmente conexa (neste caso \mathbb{C}\setminus (-\infty,0] ou mesmo apenas o semiplano direito ampliado) que contém o caminho e onde 1/z tem primitiva. Sempre verifique que a primitiva escolhida é bem definida e contínua ao longo do caminho.

Resposta

i\pi

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