Considere uma casca esférica não condutora, cujos raios interno e externo são, respectivamente, a e b. A densidade de carga é dada por \lambda(r)=\frac{C}{r^{2}}\, onde \(C é uma constante. Calcule o campo elétrico \vec{E}(r) para:
r<a)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede isto:
  • Temos uma casca esférica não condutora (isto é, material isolante preenchendo a região entre duas esferas concêntricas).
  • O raio interno da casca é a e o raio externo é b.
  • A densidade de carga (densidade volumétrica) é dada por \lambda(r)=\dfrac{C}{r^{2}}, onde C é uma constante. (Vou tratar \lambda(r) como a densidade volumétrica \rho(r) — isto é consistente com a dependência em r e com o contexto de casca volumétrica.)
  • A pergunta específica que precisamos responder aqui é: calcular o campo elétrico \vec{E}(r) para \,r<a (ou seja, dentro da cavidade central, no interior da casca vazia).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A carga está distribuída somente na região a\le r\le b.
  • Para r<a não há material carregado ocupando a região interior; ela é vazia da distribuição dada.
  • A função densidade é \rho(r)=\dfrac{C}{r^{2}} para a\le r\le b, e zero fora dessa faixa.

Passo 2

Entendimento físico e estratégia (sem ainda fazer contas): por simetria esférica a distribuição de carga depende só de r, então o campo elétrico, se existir, deve apontar radialmente e ter módulo dependendo apenas de r. Isso nos permite usar uma superfície gaussiana esférica concêntrica de raio r para relacionar o fluxo do campo com a carga contida dentro dessa esfera. Vou agora apresentar a ferramenta que usamos e explicar seus símbolos.
Apresento a lei de Gauss em sua forma integral:
\oint_{\mathcal{S}} \vec{E}\cdot d\vec{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}}.
Explicando cada símbolo:
  • \oint_{\mathcal{S}} indica integral de superfície sobre a superfície fechada \mathcal{S}.
  • \vec{E} é o campo elétrico no ponto da superfície.
  • d\vec{A} é o elemento de área vetorial da superfície (módulo igual à área infinitesimal, direção normal externa).
  • Q_{\text{int}} é a carga total contida no interior da superfície \mathcal{S}.
  • \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo (constante física).
Por simetria esférica (a distribuição depende apenas de r), ao escolher uma superfície gaussiana esférica de raio r o campo tem a forma \vec{E}(r)=E(r)\,\hat{r}, com \hat{r} o versor radial, e o produto escalar fica \vec{E}\cdot d\vec{A}=E(r)\,dA pois \vec{E} e d\vec{A} são paralelos.

Passo 3

Aplicação da lei de Gauss para r<a: escolha a superfície gaussiana como uma esfera de raio r com r<a. Calcule o fluxo à esquerda da lei de Gauss: como E é constante sobre a superfície (depende só de r),
\oint_{\mathcal{S}} \vec{E}\cdot d\vec{A}=E(r)\oint_{\mathcal{S}} dA = E(r)\,4\pi r^{2}.
Agora precisamos do lado direito: Q_{\text{int}} é a carga total dentro da esfera de raio r. A densidade \rho(r')=\dfrac{C}{r'^{2}} existe apenas entre r'=a e r'=b. Como estamos com r<a, a região interior da nossa superfície não intercepta a casca carregada. Logo a carga contida é zero. Em forma integral isso fica:
Q_{\text{int}}=\int_{V_{\text{int}}}\rho(r')\,dV'=\int_{0}^{r}\rho(r')\,4\pi r'^{2}\,dr'.
Mas para 0\le r'\le r (com r<a) a densidade \rho(r')=0 (pois a distribuição só existe para a\le r'\le b). Portanto
Q_{\text{int}}=0.

Passo 4

Concluindo com a lei de Gauss: substituímos na equação
E(r)\,4\pi r^{2}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}}=\frac{0}{\varepsilon_{0}}=0.
Daí segue
E(r)=0.
Como o campo é vetorial e por simetria só teria componente radial, isto significa
\vec{E}(r)=\vec{0}\qquad\text{para }r<a.
Observação didática curta: o raciocínio vale porque a carga está totalmente fora do raio r; qualquer distribuição esfericamente simétrica que deixa a região interior sem carga gera campo nulo no interior (isso é análogo ao fato gravitacional de que uma casca esférica não exerce força no interior). Se a densidade tivesse parte dentro de r, teríamos de integrar \rho(r')4\pi r'^{2}\,dr' até o raio r para obter Q_{\text{int}} e então calcular E(r).

Resposta

\vec{E}(r)=\vec{0} para r<a

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