Considere uma casca esférica não condutora, cujos raios interno e externo são, respectivamente,
e
. A densidade de carga é dada por
é uma constante. Calcule o campo elétrico
para:
)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede isto:
- Temos uma casca esférica não condutora (isto é, material isolante preenchendo a região entre duas esferas concêntricas).
- O raio interno da casca é
e o raio externo é . - A densidade de carga (densidade volumétrica) é dada por
, onde é uma constante. (Vou tratar como a densidade volumétrica — isto é consistente com a dependência em e com o contexto de casca volumétrica.) - A pergunta específica que precisamos responder aqui é: calcular o campo elétrico
para (ou seja, dentro da cavidade central, no interior da casca vazia).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A carga está distribuída somente na região
. - Para
não há material carregado ocupando a região interior; ela é vazia da distribuição dada. - A função densidade é
para , e zero fora dessa faixa.
Passo 2
Entendimento físico e estratégia (sem ainda fazer contas): por simetria esférica a distribuição de carga depende só de
, então o campo elétrico, se existir, deve apontar radialmente e ter módulo dependendo apenas de
. Isso nos permite usar uma superfície gaussiana esférica concêntrica de raio
para relacionar o fluxo do campo com a carga contida dentro dessa esfera. Vou agora apresentar a ferramenta que usamos e explicar seus símbolos.
Apresento a lei de Gauss em sua forma integral:
Explicando cada símbolo:
-
indica integral de superfície sobre a superfície fechada . -
é o campo elétrico no ponto da superfície. -
é o elemento de área vetorial da superfície (módulo igual à área infinitesimal, direção normal externa). -
é a carga total contida no interior da superfície . -
é a permissividade do vácuo (constante física).
Por simetria esférica (a distribuição depende apenas de
), ao escolher uma superfície gaussiana esférica de raio
o campo tem a forma
, com
o versor radial, e o produto escalar fica
pois
e
são paralelos.
Passo 3
Aplicação da lei de Gauss para
: escolha a superfície gaussiana como uma esfera de raio
com
. Calcule o fluxo à esquerda da lei de Gauss: como
é constante sobre a superfície (depende só de
),
Agora precisamos do lado direito:
é a carga total dentro da esfera de raio
. A densidade
existe apenas entre
e
. Como estamos com
, a região interior da nossa superfície não intercepta a casca carregada. Logo a carga contida é zero. Em forma integral isso fica:
Mas para
(com
) a densidade
(pois a distribuição só existe para
). Portanto
Passo 4
Concluindo com a lei de Gauss: substituímos na equação
Daí segue
Como o campo é vetorial e por simetria só teria componente radial, isto significa
Observação didática curta: o raciocínio vale porque a carga está totalmente fora do raio
; qualquer distribuição esfericamente simétrica que deixa a região interior sem carga gera campo nulo no interior (isso é análogo ao fato gravitacional de que uma casca esférica não exerce força no interior). Se a densidade tivesse parte dentro de
, teríamos de integrar
até o raio
para obter
e então calcular
.