QUESTÃO 1: Um condutor cilíndrico muito longo e maciço de raio R, possui um vetor densidade de corrente \mathbf{J} que é paralelo ao seu eixo central. O módulo de |\mathbf{J}|=J varia com a distância ao seu eixo central r de acordo com a expressão J=A r para 0 \leq r \leq R, onde A é uma constante. Sabe-se que J=0 para r>R, pois não existe corrente elétrica fora do cilindro, onde há vácuo. A permeabilidade magnética do vácuo é \mu_{0}. Para esta situação:
(a) (\mathbf{1 , 0}) Calcule o módulo do campo magnético \mathbf{B} para r \leq R.
(b) (\mathbf{1 , 0}) Calcule o módulo do campo magnético \mathbf{B} para r>R.
(c) (\mathbf{0 , 5}) Qual é o valor máximo atingido pelo módulo do campo magnético \mathbf{B} ?
(d) (\mathbf{1 , 0}) A que distâncias do eixo central (dentro e fora do condutor) o módulo do campo magnético B atinge a metade do seu valor máximo?

Passo 1

O enunciado dá um condutor cilíndrico muito longo, maciço, de raio R. A densidade de corrente vetorial \mathbf{J} é paralela ao eixo do cilindro e seu módulo varia radialmente segundo
J(r)=A r \quad\text{para } 0\le r\le R,
onde A é uma constante. Para r>R temos J=0. A permeabilidade do vácuo é \mu_{0}.
As perguntas são:
(a) Calcular o módulo de \mathbf{B} para r\le R.
(b) Calcular o módulo de \mathbf{B} para r>R.
(c) Determinar o valor máximo do módulo de \mathbf{B}.
(d) Encontrar as distâncias do eixo (dentro e fora do condutor) em que B atinge metade do seu valor máximo.
Todas as informações relevantes do enunciado foram listadas acima.

Passo 2

Vamos usar a simetria do problema e a Lei de Ampère. Primeiro algumas ideias essenciais, explicadas devagar:
  • A densidade de corrente \mathbf{J} dá a corrente por unidade de área. Se quisermos a corrente que atravessa uma superfície de seção do cilindro de raio r usamos
I_{\text{enc}}=\iint_{\text{área}} \mathbf{J}\cdot d\mathbf{A}.á
Aqui \mathbf{J} está ao longo do eixo (digamos direção z), e a área da seção é perpendicular ao eixo, então \mathbf{J}\cdot d\mathbf{A}=J(r')\,dA com dA elementar.
  • Pela simetria cilíndrica, o campo magnético \mathbf{B} é tangencial a círculos concêntricos ao eixo e tem módulo que depende só de r. Logo, ao aplicar a Lei de Ampère
\oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}=\mu_{0} I_{\text{enc}},
podemos escolher uma curva amperiana como um círculo de raio r centrado no eixo. Nesse caso \mathbf{B} tem direção tangencial constante em todo o caminho e o produto escalar é B(r)\,dl, portanto o lado esquerdo vira B(r)\cdot 2\pi r.
  • Resumo prático da Lei de Ampère aqui:
B(r)\,2\pi r = \mu_0 I_{\text{enc}}(r).
Nos resta calcular I_{\text{enc}}(r) para os dois regimes ( r\le R e r>R).

Passo 3

Cálculo de I_{\text{enc}}(r) para r\le R.
Tomamos um disco de raio r na seção transversal. Em coordenadas cilíndricas, o elemento de área é dA = 2\pi r'\,dr' se quisermos somar anéis concêntricos (aqui r' é a variável de integração). A densidade é J(r')=A r'. Assim
I_{\text{enc}}(r)=\int_{0}^{r} J(r')\,dA = \int_{0}^{r} (A r')(2\pi r')\,dr'.
Escrevendo a integral:
I_{\text{enc}}(r)=2\pi A \int_{0}^{r} r'^{2}\,dr'.
Integrando:
\int_{0}^{r} r'^{2}\,dr'=\left[\frac{r'^{3}}{3}\right]_{0}^{r}=\frac{r^{3}}{3}.
Portanto
I_{\text{enc}}(r)=2\pi A \cdot \frac{r^{3}}{3}=\frac{2\pi A r^{3}}{3},\quad\text{para }0\le r\le R.

Passo 4

Agora usamos a Lei de Ampère para obter B(r) dentro do condutor ( r\le R).
A relação é
B(r)\,2\pi r = \mu_{0} I_{\text{enc}}(r).
Substituindo I_{\text{enc}}(r)=\dfrac{2\pi A r^{3}}{3} obtemos
B(r)\,2\pi r = \mu_{0}\cdot \frac{2\pi A r^{3}}{3}.
Cancelando 2\pi e um fator r de ambos os lados:
B(r)=\mu_{0}\,\frac{A r^{2}}{3},\quad\text{para }0\le r\le R.
Interpretação rápida: dentro do fio B cresce com r^{2} a partir do eixo.

Passo 5

Cálculo da corrente total (para usar em r>R).
A corrente total que atravessa a seção (quando tomamos todo o raio R) é dada por I_{\text{tot}}=I_{\text{enc}}(R). Usando a fórmula do passo 3:
I_{\text{tot}}=\frac{2\pi A R^{3}}{3}.
Para r>R toda a corrente está contida dentro do círculo de raio r, então I_{\text{enc}}(r)=I_{\text{tot}}. Aplicando Ampère para r>R:
B(r)\,2\pi r = \mu_{0} I_{\text{tot}} = \mu_{0}\cdot \frac{2\pi A R^{3}}{3}.
Cancelando 2\pi:
B(r)=\mu_{0}\,\frac{A R^{3}}{3r},\quad\text{para } r>R.
Interpretação: fora do fio B decai como 1/r, como ocorreria para um fio fino com a mesma corrente total.

Passo 6

Encontrar o valor máximo de B.
Observamos que dentro do condutor B(r)=\mu_{0}A r^{2}/3 cresce com r, e fora B(r)=\mu_{0}A R^{3}/(3r) decresce com r. Assim o máximo ocorre na fronteira r=R.
Calculando em r=R:
B_{\max}=B(R)=\mu_{0}\,\frac{A R^{2}}{3}.
(Nota: verificar consistência avaliando a expressão externa em r=R: \mu_{0}A R^{3}/(3R)=\mu_{0}A R^{2}/3, mesma coisa.)

Passo 7

Encontrar onde B vale metade de B_{\max}.
Queremos os raios r tais que B(r)=\tfrac{1}{2}B_{\max}.
(i) Dentro ( 0\le r\le R): usar B(r)=\mu_{0}A r^{2}/3 e B_{\max}=\mu_{0}A R^{2}/3. Igualando:
\mu_{0}\frac{A r^{2}}{3} = \frac{1}{2}\left(\mu_{0}\frac{A R^{2}}{3}\right).
Cancelando o fator comum \mu_{0}A/3:
r^{2}=\frac{1}{2}R^{2}.
Logo
r=\frac{R}{\sqrt{2}}\quad\text{(dentro do condutor).}
(ii) Fora ( r>R): usar B(r)=\mu_{0}A R^{3}/(3r). Igualando a metade do máximo:
\mu_{0}\frac{A R^{3}}{3r} = \frac{1}{2}\left(\mu_{0}\frac{A R^{2}}{3}\right).
Cancelando \mu_{0}A/3:
\frac{R^{3}}{r}=\frac{1}{2}R^{2}.
Isolando r:
r=2R\quad\text{(fora do condutor).}

Passo 8

Resumo final (tudo conferido e coerente com continuação em r=R).

Resposta

(a) B(r)=\mu_{0}\dfrac{A r^{2}}{3},\quad 0\le r\le R.
(b) B(r)=\mu_{0}\dfrac{A R^{3}}{3r},\quad r>R.
(c) B_{\max}=\mu_{0}\dfrac{A R^{2}}{3}.
(d) Dentro: r=\dfrac{R}{\sqrt{2}}. \n Fora: r=2R.

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