QUESTÃO 1: Um condutor cilíndrico muito longo e maciço de raio
, possui um vetor densidade de corrente
que é paralelo ao seu eixo central. O módulo de
varia com a distância ao seu eixo central
de acordo com a expressão
para
, onde
é uma constante. Sabe-se que
para
, pois não existe corrente elétrica fora do cilindro, onde há vácuo. A permeabilidade magnética do vácuo é
. Para esta situação:
(a)
Calcule o módulo do campo magnético
para
.
(b)
Calcule o módulo do campo magnético
para
.
(c)
Qual é o valor máximo atingido pelo módulo do campo magnético
?
(d)
A que distâncias do eixo central (dentro e fora do condutor) o módulo do campo magnético B atinge a metade do seu valor máximo?
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
O enunciado dá um condutor cilíndrico muito longo, maciço, de raio
. A densidade de corrente vetorial
é paralela ao eixo do cilindro e seu módulo varia radialmente segundo
onde
é uma constante. Para
temos
. A permeabilidade do vácuo é
.
As perguntas são:
(a) Calcular o módulo de para
.
(b) Calcular o módulo de para
.
(c) Determinar o valor máximo do módulo de .
(d) Encontrar as distâncias do eixo (dentro e fora do condutor) em que atinge metade do seu valor máximo.
(a) Calcular o módulo de
(b) Calcular o módulo de
(c) Determinar o valor máximo do módulo de
(d) Encontrar as distâncias do eixo (dentro e fora do condutor) em que
Todas as informações relevantes do enunciado foram listadas acima.
Passo 2
Vamos usar a simetria do problema e a Lei de Ampère. Primeiro algumas ideias essenciais, explicadas devagar:
- A densidade de corrente
dá a corrente por unidade de área. Se quisermos a corrente que atravessa uma superfície de seção do cilindro de raio usamos
Aqui
está ao longo do eixo (digamos direção
), e a área da seção é perpendicular ao eixo, então
com
elementar.
- Pela simetria cilíndrica, o campo magnético
é tangencial a círculos concêntricos ao eixo e tem módulo que depende só de . Logo, ao aplicar a Lei de Ampère
podemos escolher uma curva amperiana como um círculo de raio
centrado no eixo. Nesse caso
tem direção tangencial constante em todo o caminho e o produto escalar é
, portanto o lado esquerdo vira
.
- Resumo prático da Lei de Ampère aqui:
Nos resta calcular
para os dois regimes (
e
).
Passo 3
Cálculo de
para
.
Tomamos um disco de raio
na seção transversal. Em coordenadas cilíndricas, o elemento de área é
se quisermos somar anéis concêntricos (aqui
é a variável de integração). A densidade é
. Assim
Escrevendo a integral:
Integrando:
Portanto
Passo 4
Agora usamos a Lei de Ampère para obter
dentro do condutor (
).
A relação é
Substituindo
obtemos
Cancelando
e um fator
de ambos os lados:
Interpretação rápida: dentro do fio
cresce com
a partir do eixo.
Passo 5
Cálculo da corrente total (para usar em
).
A corrente total que atravessa a seção (quando tomamos todo o raio
) é dada por
. Usando a fórmula do passo 3:
Para
toda a corrente está contida dentro do círculo de raio
, então
. Aplicando Ampère para
:
Cancelando
:
Interpretação: fora do fio
decai como
, como ocorreria para um fio fino com a mesma corrente total.
Passo 6
Encontrar o valor máximo de
.
Observamos que dentro do condutor
cresce com
, e fora
decresce com
. Assim o máximo ocorre na fronteira
.
Calculando em
:
(Nota: verificar consistência avaliando a expressão externa em
:
, mesma coisa.)
Passo 7
Encontrar onde
vale metade de
.
Queremos os raios
tais que
.
(i) Dentro (
): usar
e
. Igualando:
Cancelando o fator comum
:
Logo
(ii) Fora (
): usar
. Igualando a metade do máximo:
Cancelando
:
Isolando
:
Passo 8
Resumo final (tudo conferido e coerente com continuação em
).
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d) Dentro:
\n Fora: