Considere uma casca esférica de raio R e massa M uniformemente distribuida. A uma distância r>R do centro da esfera, é colocada uma massa pontual m.
(a) Encontre e construa o gráfico da energia potencial gravitacional do sistema como função de r.
(b) Encontre a força da casca sobre a massa m.
(c) Encontre o campo gravitacional da casca na posição de m.
Passo 1
Dados do enunciado (o que a questão nos dá)
Temos uma casca esférica de raio R e massa total M, com massa distribuída uniformemente sobre a casca (espessura desprezível).
Uma massa pontual m é colocada a uma distância r>R do centro da casca.
Perguntas (o que a questão pede)
(a) Encontre e construa o gráfico da energia potencial gravitacional do sistema como função de r.
(b) Encontre a força da casca sobre a massa m.
(c) Encontre o campo gravitacional da casca na posição de m.
Passo 2
Principais conceitos e fórmulas que vamos usar (explicados com calma)
Constante gravitacional: G é a constante universal da gravitação.
Força entre duas massas pontuais: a lei de Newton diz que a força de atração gravitacional entre duas massas pontuais m_1 e m_2 separadas por distância s é dada por
F = G\frac{m_1 m_2}{s^2},
direcionada ao longo da linha que une as massas (atração). Aqui F é o módulo da força; a direção é radial para dentro.
Energia potencial gravitacional entre duas massas pontuais: definimos a energia potencial U de duas massas pontuais separadas por s com o zero em s\to\infty como
U(s) = -G\frac{m_1 m_2}{s}.
Significado das variáveis: G constante, m_1,m_2 massas, s distância entre centros; o sinal negativo indica que a energia é menor (mais negativa) quando as massas se aproximam.
Relação entre força e energia potencial (unidade unificada): para uma força central radial podemos obter a componente radial da força a partir da energia potencial por
F_r = -\frac{dU}{dr},
onde r é a coordenada radial (positiva para fora). Isso vale no caso em que a força é central e conservativa.
Observação sobre corpos esféricos e a casca: existe um resultado clássico (teorema da casca/esfera) que diz, por simetria e superposição, que:
Para pontos externos (r\ge R) uma casca esférica de massa M gera o mesmo campo/força/potencial que uma massa pontual M localizada no centro.
Para pontos internos (r<R) o campo gravitacional gerado por uma casca esférica é zero (e o potencial é constante).
Vou usar esse resultado e mostrar como obter o campo e o potencial a partir dele (passos seguintes).
Passo 3
Cálculo do campo gravitacional para r>R usando simetria (derivação do que a casca “se comporta como” massa no centro)
Raciocínio por simetria (intuitivo e padrão): a casca é esfericamente simétrica, então o campo gravitacional no ponto a distância r do centro só pode apontar radialmente (direção centro→ponto) e deve ter módulo que depende apenas de r. Podemos então usar um argumento análogo à Lei de Gauss para a gravitação: para uma superfície esférica de raio r centrada na casca, o fluxo do campo através da superfície é proporcional à massa contida. A forma diferencial/integração dá (resultado padrão)
g(r)\,4\pi r^2 = -4\pi G M_{\text{enc}},
onde g(r) é a componente radial do campo (módulo com sinal negativo se apontar para dentro) e M_{\text{enc}} é a massa contida dentro da esfera de raio r. Para r>R toda a massa M está dentro, então M_{\text{enc}}=M. Assim
g(r) = -G\frac{M}{r^2}\quad\text{(vetorialmente: aponta para o centro).}
Aqui explico os sinais: escolhemos o vetor radial \hat{r} apontando para fora; logo o campo aponta para dentro e tem componente radial g_r=-G M/r^2. A convenção habitual é escrever o campo vetorial como
\mathbf{g}(r) = -G\frac{M}{r^2}\,\hat{r}.
A força sobre a massa m é simplesmente \mathbf{F}=m\mathbf{g}, então para r>R
\mathbf{F}(r) = -G\frac{M m}{r^2}\,\hat{r}.
Comentário: para r<R (ponto dentro da casca) o mass a dentro é zero (M_{\text{enc}}=0) e pelo mesmo raciocínio o campo é nulo: \mathbf{g}=0. Vou usar isso abaixo também.
Passo 4
Cálculo da energia potencial U(r) para r>R a partir do campo (e condição U(\infty)=0)
Usamos a relação entre potencial e campo/força. Sabendo o campo (ou força), podemos obter U(r) integrando:
a componente radial da força é F_r(r)= -G M m / r^2. Tomando U(\infty)=0 como referência,
U(r) = -\int_{r}^{\infty} F_r(r')\,dr'.
Aqui a integral é unidimensional radial, e o sinal já cuida da direção. Substituindo F_r(r') = -G M m / {r'}^{2} obtemos
U(r) = -\int_{r}^{\infty} \left(-G\frac{M m}{{r'}^2}\right)\,dr' = G M m \int_{r}^{\infty} \frac{1}{{r'}^2}\,dr'.
A integral de 1/{r'}^{2} é -1/r', então
U(r) = G M m \left[-\frac{1}{r'}\right]_{r}^{\infty} = G M m \left(0 - \left(-\frac{1}{r}\right)\right) = -G\frac{M m}{r}.
Portanto, para r\ge R (externo) a energia potencial é
U(r) = -G\frac{M m}{r}.
Passo 5
Energia potencial e campo dentro da casca (r<R\)) e continuidade em \(r=R\)
- Dentro da casca, como já vimos, o campo é zero: \(\mathbf{g}(r)=\mathbf{0}\) para \(r<R\). Como a força é zero, a energia potencial não varia com \(r\) dentro da casca — ela é constante.
- Para encontrar o valor dessa constante, usamos continuidade do potencial (o potencial não salta infinitamente). O valor na superfície \(r=R\) calculado pela fórmula externa é
\[U(R)= -G\frac{M m}{R}.
Como dentro a energia é constante e tem que coincidir no limite r\to R^{-}, temos para r\le R
Como r\to\infty\], \(U(r)\to 0 vindo por valores negativos.
Para r\ge R a curva é uma hipérbole -GMm/r decrescendo (mais negativa) à medida que r diminui, chegando a -GMm/R em r=R.
Para r\le R a curva é uma linha horizontal (constante) igual a -GMm/R.
Assim o gráfico é contínuo em r=R (valor igual dos dois ramos), mas sua derivada tem descontinuidade em r=R — isso corresponde ao fato de que a força (proporcional à derivada) salta de -GMm/R^2 para 0 ao entrar na casca.]
Passo 6
Resposta explícita para a força (parte b) e para o campo gravitacional (parte c), com explicação final e relação entre grandezas
Força da casca sobre m\): é a força gravitacional \(\mathbf{F}=m\mathbf{g}\). Escrevendo de forma peça por peça,
\[\mathbf{F}(r)=\begin{cases} -\,G\displaystyle\frac{M m}{r^2}\,\hat{r}, & r\ge R,\\[6pt] \mathbf{0}, & r\le R. \end{cases}
Aqui \hat{r}\] é o versor radial apontando para fora; o sinal negativo indica atração (direção para o centro). Em módulo, para \[r\ge R, |\mathbf{F}|=G M m / r^2.
Campo gravitacional da casca na posição de m (parte c): campo é força por unidade de massa,
\mathbf{g}(r)=\begin{cases} -\,G\displaystyle\frac{M}{r^2}\,\hat{r}, & r\ge R,\\[6pt] \mathbf{0}, & r\le R. \end{cases}
Relação com a energia potencial: \mathbf{F}=-\nabla U\] e \(\mathbf{g}=\mathbf{F}/m. No caso radial, isto coincide com F_r=-dU/dr que usamos antes.]
Resposta
(a) U(r)=\begin{cases}-G\displaystyle\frac{M m}{r}, & r\ge R,\\[6pt]-G\displaystyle\frac{M m}{R}, & r\le R.\end{cases} (gráfico: hipérbole negativa para [r\ge R) chegando a -GMm/R em r=R, e linha horizontal constante -GMm/R para r<R).