Considere um bloco de massa M=2 K g preso a uma mola de constante k=100 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. A outra extremidade da mola é presa à parede, o movimento do bloco é horizontal e livre de atrito. Em t=0, a posição do bloco é zero e a velocidade é de -10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
(a) O sistema é M.H.S? Explique.
(b) Encontre o período e a amplitude das oscilaçōes.
(c) Encontre a velocidade como funçāo do tempo e seu gráfico.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está abaixo.
Dados fornecidos:
M=2\\ \mathrm{kg},\qquad k=100\\ \mathrm{N/m},
x(0)=0,\qquad v(0)=-10\\ \mathrm{m/s},
movimento horizontal sem atrito e mola presa na outra extremidade.
Perguntas:
(a) O sistema é M.H.S? Explique.
(b) Encontre o período e a amplitude das oscilações.
(c) Encontre a velocidade como função do tempo e descreva (faça o gráfico mental/descrição).

Passo 2

Vamos explicar por que este sistema pode (ou não) ser M.H.S. e escrever a equação do movimento.
  1. Força-elástica (Lei de Hooke): a mola exerce sobre o bloco uma força de restauração proporcional ao deslocamento e dirigida para o ponto de equilíbrio. Em fórmula:
F_{mola}=-k x,
onde \,x é o deslocamento a partir do ponto de equilíbrio (positivo para uma direção, negativo para a outra) e \,k é a constante da mola. O sinal negativo indica que a força é no sentido oposto ao deslocamento.
  1. Segunda lei de Newton (somatório das forças = massa × aceleração): como não há atrito nem outras forças horizontais,
M\ddot x = F_{mola} = -k x.
  1. Reorganizando:
\ddot x + \frac{k}{M}x = 0.
Esta é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes, da forma característica do movimento harmônico simples (M.H.S). Portanto, sim: o sistema é M.H.S. porque a força restauradora é proporcional (e oposta) ao deslocamento, o que gera uma equação \ddot x + \omega^2 x=0 com solução senoidal.

Passo 3

Agora obtemos a frequência angular e o período.
Definimos a frequência angular \omega pela relação
\omega=\sqrt{\frac{k}{M}}.
Substituindo os valores:
\omega=\sqrt{\frac{100}{2}}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}\\ \mathrm{rad/s}\approx 7{,}0710679\\ \mathrm{rad/s}.
O período T (tempo de uma oscilação completa) é
T=\frac{2\pi}{\omega}.
Calculando:
T=\frac{2\pi}{5\sqrt{2}}\approx \frac{6{,}283185}{7{,}071068}\approx 0{,}8886\\ \mathrm{s}.

Passo 4

Solução geral do M.H.S. e aplicação das condições iniciais para achar amplitude e fase.
A solução geral da equação \ddot x + \omega^2 x=0 é
x(t)=A\cos(\omega t+\varphi),
onde A é a amplitude (não negativa) e \varphi é a fase inicial.
Usamos as condições iniciais para determinar A e \varphi.
  1. Em t=0:
x(0)=A\cos\varphi=0.
Logo \cos\varphi=0. Isso significa que \varphi=\pm\frac{\pi}{2}+n\pi. Tomamos a solução mais simples \varphi=\frac{\pi}{2} (podemos escolher sinal da amplitude para manter A\ge 0).
  1. A velocidade geral é
v(t)=\dot x(t)=-A\omega\sin(\omega t+\varphi).
Em t=0:
v(0)=-A\omega\sin\varphi=-10.
Com \varphi=\frac{\pi}{2} temos \sin\varphi=1, então
-A\omega=-10 \quad\Rightarrow\quad A=\frac{10}{\omega}.
Substituindo \omega=5\sqrt{2}:
A=\frac{10}{5\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\\ \mathrm{m}\approx 1{,}4142\\ \mathrm{m}.
(Verificação física rápida via energia: energia cinética inicial \tfrac12 M v(0)^2 transforma-se em energia potencial máxima \tfrac12 k A^2. Igualando \tfrac12 M v_0^2=\tfrac12 k A^2 A=v_0\sqrt{M/k}, que dá o mesmo resultado.)

Passo 5

Expressões finais para x(t) e v(t), simplificação e descrição do gráfico de v(t).
Com A=\sqrt{2} e \varphi=\frac{\pi}{2} a posição é
x(t)=A\cos(\omega t+\tfrac{\pi}{2}) = A\bigl(-\sin(\omega t)\bigr) = -A\sin(\omega t).
Logo
x(t)=-\sqrt{2}\,\sin\bigl(5\sqrt{2}\,t\bigr)\\ \mathrm{m}.
A velocidade é derivada:
v(t)=\dot x(t)=-A\omega\cos(\omega t+\tfrac{\pi}{2}) = -A\omega\cos(\omega t+\tfrac{\pi}{2}).
Mas usando x(t)=-A\sin(\omega t) fica mais simples:
v(t)=-A\omega\cos(\omega t).
Como A\omega= (\sqrt{2})(5\sqrt{2})=10, simplifica muito:
v(t)=-10\cos\bigl(5\sqrt{2}\,t\bigr)\\ \mathrm{m/s}.
Descrição do gráfico de v(t):
  • É uma cossenoide com amplitude 10\\ \mathrm{m/s} e período T\approx 0{,}8886\\ \mathrm{s}.
  • Em t=0, v(0)=-10\\ \mathrm{m/s} (começa no mínimo negativo).
  • Zeros de v(t) ocorrem quando \cos(\omega t)=0, isto é em
t=\frac{\pi}{2\omega}+n\frac{\pi}{\omega} = \frac{T}{4}+n\frac{T}{2},\quad n\in\mathbb{Z}.
  • Máximo positivo v=+10 ocorre em t=\frac{\pi}{\omega}+n\frac{2\pi}{\omega}= \frac{T}{2}+nT.
    Gráfico mental: uma onda cosseno iniciando em -10, subindo para 0 em t=T/4, atingindo +10 em t=T/2, voltando para 0 em t=3T/4, e retornando a -10 em t=T.

Resposta

(a) Sim. Porque a força da mola é F=-kx e a equação de movimento é \;M\ddot x + kx=0, que é a equação do M.H.S.
(b) T=\dfrac{2\pi}{\omega}=\dfrac{2\pi}{5\sqrt{2}}\approx 0{,}8886\\ \mathrm{s}. \quad A=\sqrt{2}\\ \mathrm{m}\approx 1{,}4142\\ \mathrm{m}.
(c) \displaystyle v(t)=-10\cos\bigl(5\sqrt{2}\,t\bigr)\\ \mathrm{m/s}. (Amplitude 10\\ \mathrm{m/s}, período T\approx 0{,}8886\\ \mathrm{s}; começa em v(0)=-10.)

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