Considere um bloco de massa
preso a uma mola de constante
. A outra extremidade da mola é presa à parede, o movimento do bloco é horizontal e livre de atrito. Em
, a posição do bloco é zero e a velocidade é de
.
(a) O sistema é M.H.S? Explique.
(b) Encontre o período e a amplitude das oscilaçōes.
(c) Encontre a velocidade como funçāo do tempo e seu gráfico.
(a) O sistema é M.H.S? Explique.
(b) Encontre o período e a amplitude das oscilaçōes.
(c) Encontre a velocidade como funçāo do tempo e seu gráfico.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está abaixo.
Dados fornecidos:
movimento horizontal sem atrito e mola presa na outra extremidade.
Perguntas:
(a) O sistema é M.H.S? Explique.
(b) Encontre o período e a amplitude das oscilações.
(c) Encontre a velocidade como função do tempo e descreva (faça o gráfico mental/descrição).
(a) O sistema é M.H.S? Explique.
(b) Encontre o período e a amplitude das oscilações.
(c) Encontre a velocidade como função do tempo e descreva (faça o gráfico mental/descrição).
Passo 2
Vamos explicar por que este sistema pode (ou não) ser M.H.S. e escrever a equação do movimento.
- Força-elástica (Lei de Hooke): a mola exerce sobre o bloco uma força de restauração proporcional ao deslocamento e dirigida para o ponto de equilíbrio. Em fórmula:
onde
é o deslocamento a partir do ponto de equilíbrio (positivo para uma direção, negativo para a outra) e
é a constante da mola. O sinal negativo indica que a força é no sentido oposto ao deslocamento.
- Segunda lei de Newton (somatório das forças = massa × aceleração): como não há atrito nem outras forças horizontais,
- Reorganizando:
Esta é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes, da forma característica do movimento harmônico simples (M.H.S). Portanto, sim: o sistema é M.H.S. porque a força restauradora é proporcional (e oposta) ao deslocamento, o que gera uma equação
com solução senoidal.
Passo 3
Agora obtemos a frequência angular e o período.
Definimos a frequência angular
pela relação
Substituindo os valores:
O período
(tempo de uma oscilação completa) é
Calculando:
Passo 4
Solução geral do M.H.S. e aplicação das condições iniciais para achar amplitude e fase.
A solução geral da equação
é
onde
é a amplitude (não negativa) e
é a fase inicial.
Usamos as condições iniciais para determinar
e
.
- Em
:
Logo
. Isso significa que
. Tomamos a solução mais simples
(podemos escolher sinal da amplitude para manter
).
- A velocidade geral é
Em
:
Com
temos
, então
Substituindo
:
(Verificação física rápida via energia: energia cinética inicial
transforma-se em energia potencial máxima
. Igualando
dá
, que dá o mesmo resultado.)
Passo 5
Expressões finais para
e
, simplificação e descrição do gráfico de
.
Com
e
a posição é
Logo
A velocidade é derivada:
Mas usando
fica mais simples:
Como
, simplifica muito:
Descrição do gráfico de
:
- É uma cossenoide com amplitude
e período . - Em
, (começa no mínimo negativo). - Zeros de
ocorrem quando , isto é em
- Máximo positivo
ocorre em .
Gráfico mental: uma onda cosseno iniciando em, subindo para em , atingindo em , voltando para em , e retornando a em .
Resposta
(a) Sim. Porque a força da mola é
e a equação de movimento é
, que é a equação do M.H.S.
(b) .
(c) (Amplitude
, período
; começa em
.)
(b)
(c)