Considere um cilindro sólido homogêneo de massa total , raio e altura , girando em torno de seu eixo central . O cilindro possui densidade volumétrica constante e está girando com uma velocidade angular .
Sabendo que a energia cinética de um corpo rígido em rotação é dada por
determine a energia cinética do cilindro dado o tensor de inércia e a velocidade angular .
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos um cilindro sólido homogêneo de massa total , raio , altura , girando em torno do eixo . A densidade é constante e a energia cinética de rotação é
O conteúdo aqui é Dinâmica de Sólidos Rígidos (tensor de inércia e energia cinética rotacional). Para resolver precisamos:
Saber o tensor de inércia do cilindro;
Expressar o vetor ;
Fazer o produto .
Passo 2
Primeiro, qual é o tensor de inércia de um cilindro homogêneo em relação aos eixos que passam pelo seu centro? Na base ele é diagonal:
com
Isso vem de integrar em todo o volume, mas aqui já usamos a fórmula pronta.
Passo 3
Como o cilindro gira em torno do eixo omega = (0,0,omega) , o vetor velocidade angular é