Considere um cilindro sólido homogêneo de massa total M, raio R e altura h, girando em torno de seu eixo central (z). O cilindro possui densidade volumétrica constante rho e está girando com uma velocidade angular omega.
Sabendo que a energia cinética de um corpo rígido em rotação é dada por
T=12 omega^T I omega
determine a energia cinética do cilindro dado o tensor de inércia e a velocidade angular omega.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos um cilindro sólido homogêneo de massa total T=tfrac12,omega^TI,omega , raio , altura , girando em torno do eixo . A densidade é constante e a energia cinética de rotação é
O conteúdo aqui é Dinâmica de Sólidos Rígidos (tensor de inércia e energia cinética rotacional). Para resolver precisamos:
  1. Saber o tensor de inércia do cilindro;
  2. Expressar o vetor ;
  3. Fazer o produto .

Passo 2

Primeiro, qual é o tensor de inércia de um cilindro homogêneo em relação aos eixos que passam pelo seu centro? Na base I= Ixx&0&0[6pt] 0&Iyy&0[6pt] 0&0&Izz ele é diagonal:
Ixx=Iyy=tfrac112,Ml(3R^2+h^2r), Izz=tfrac12,M,R^2
com
Isso vem de integrar em todo o volume, mas aqui já usamos a fórmula pronta.

Passo 3

Como o cilindro gira em torno do eixo omega = (0,0,omega) , o vetor velocidade angular é
Ou seja, só a componente é não-nula.

Passo 4

Agora é plug-and-play na fórmula
T=tfrac12,omega^TI,omega
Escrevendo em componentes:
T=tfrac12,(0,0,omega) Ixx&0&0 0&Iyy&0 0&0&Izz 00omega =tfrac12,Izz,omega^2
porque só entra mesmo.

Resposta

T = tfrac12l(tfrac12 M R^2r),omega^2 = tfrac14,M,R^2,omega^2

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