Considere um cilindro sólido homogêneo de massa total
, raio
e altura
, girando em torno de seu eixo central
. O cilindro possui densidade volumétrica constante
e está girando com uma velocidade angular
.
Determine o momento de inércia escalar
em relação ao eixo central do cilindro.
Determine o momento de inércia escalar
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos um cilindro sólido e homogêneo de massa
, raio
e altura
, girando em torno do seu eixo central (eixo
). A matéria aqui é “Momento de Inércia” (um “peso” que cada pedaço de massa dá à rotação) e vamos precisar de cálculo em coordenadas cilíndricas e da densidade volumétrica constante
.
Passo 2
O momento de inércia escalar em relação ao eixo
é definido como
onde
é a distância de cada pedacinho de massa
ao eixo de rotação. Não precisa se preocupar com força nem torque agora, só com “cada pontinho de massa valendo
” na integral.
Passo 3
Como o cilindro é homogêneo, a densidade volumétrica vale
E, em coordenadas cilíndricas, um elemento de volume é
logo
Passo 4
Substituindo
na definição de
:
Agrupando os fatores:
Passo 5
Agora a gente faz cada integral:
-
. -
. -
.
Então
Lembra que
, então