Considere um cilindro sólido homogêneo de massa total M, raio R e altura h, girando em torno de seu eixo central (z). O cilindro possui densidade volumétrica constante rho e está girando com uma velocidade angular omega.
Determine o momento de inércia escalar Iz em relação ao eixo central do cilindro.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos um cilindro sólido e homogêneo de massa , raio e altura , girando em torno do seu eixo central (eixo ). A matéria aqui é “Momento de Inércia” (um “peso” que cada pedaço de massa dá à rotação) e vamos precisar de cálculo em coordenadas cilíndricas e da densidade volumétrica constante .

Passo 2

O momento de inércia escalar em relação ao eixo Iz ;=;integral r^2,dm, é definido como
onde é a distância de cada pedacinho de massa ao eixo de rotação. Não precisa se preocupar com força nem torque agora, só com “cada pontinho de massa valendo ” na integral.

Passo 3

Como o cilindro é homogêneo, a densidade volumétrica vale
rho = MVolume = Mpi R^2 h
E, em coordenadas cilíndricas, um elemento de volume é
dV = r,dr,dtheta,dz,
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dm = rho,dV = rho,r,dr,dtheta,dz

Passo 4

Substituindo Iz = integral r^2,dm = integralz=0^h!!integraltheta=0^2pi!!integralr=0^R r^2 ,l(rho,r,dr,dtheta,dzr) na definição de Iz = rho integral0^hdz integral0^2pidtheta integral0^R r^3,dr :
Agrupando os fatores:

Passo 5

Agora a gente faz cada integral:
  1. Iz = rho;l(h cdot 2pi cdot tfracR^44r) = rho,pi h R^42 .
  2. Iz = Mpi R^2 h,pi h R^42 = M R^22 .
  3. .
    Então
Lembra que , então

Resposta

boxedIz = tfrac12 ,M,R^2

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