Considere um cilindro sólido homogêneo de massa total , raio e altura , girando em torno de seu eixo central . O cilindro possui densidade volumétrica constante e está girando com uma velocidade angular .
Determine o tensor de inércia I em relação a um sistema de coordenadas cartesiano com origem no centro de massa do cilindro:
Passo 1
Beleza, temos um cilindro sólido homogêneo de massa total Ix = integral (y^2 + z^2),dm, Iy = integral (x^2 + z^2),dm, Iz = integral (x^2 + y^2),dm , raio e altura , girando em torno do seu eixo central .
Conteúdo: momento de inércia (tensor de inércia) e integração em coordenadas cilíndricas.
O que precisamos:
A densidade volumétrica .
As definições
Escolher coordenadas cilíndricas para facilitar as integrais.
Passo 2
Primeiro, determina a densidade volumétrica V = pi R^2 h, .
O volume do cilindro é
rho = MV = Mpi R^2 h
então
dm = rho,dV = rho,r,dr,dphi,dz
E o elemento de massa é
Passo 3
Calcular Ix = integral (y^2 + z^2),dm . Por simetria y^2 = r^2sin^2phi , mas vamos fazer só Ix = integralz=-h/2^h/2!integralphi=0^2pi!integralr=0^R l(r^2sin^2phi + z^2r),rho,r,dr,dphi,dz :
rho;pi;R^44;h = rho,pi,R^4,h4
Em cilíndricas, rho;2pi;R^22;h^312 = rho,pi,R^2,h^312 , então
Ix = Mpi R^2 hl(pi R^4 h4 + pi R^2 h^312r) = Ml(R^24 + h^212r) = M12(3R^2 + h^2)