Considere um cilindro sólido homogêneo de massa total M, raio R e altura h, girando em torno de seu eixo central (z). O cilindro possui densidade volumétrica constante rho e está girando com uma velocidade angular omega.
Determine o tensor de inércia I em relação a um sistema de coordenadas cartesiano com origem no centro de massa do cilindro:
I=[ccc Ix & 0 & 0 0 & Iy & 0 0 & 0 & Iz ]

Passo 1

Beleza, temos um cilindro sólido homogêneo de massa total Ix = integral (y^2 + z^2),dm, Iy = integral (x^2 + z^2),dm, Iz = integral (x^2 + y^2),dm , raio e altura , girando em torno do seu eixo central .
Conteúdo: momento de inércia (tensor de inércia) e integração em coordenadas cilíndricas.
O que precisamos:
  1. A densidade volumétrica .
  2. As definições
  3. Escolher coordenadas cilíndricas para facilitar as integrais.

Passo 2

Primeiro, determina a densidade volumétrica V = pi R^2 h, .
O volume do cilindro é
rho = MV = Mpi R^2 h
então
dm = rho,dV = rho,r,dr,dphi,dz
E o elemento de massa é

Passo 3

Calcular Ix = integral (y^2 + z^2),dm . Por simetria y^2 = r^2sin^2phi , mas vamos fazer só Ix = integralz=-h/2^h/2!integralphi=0^2pi!integralr=0^R l(r^2sin^2phi + z^2r),rho,r,dr,dphi,dz :
rho;pi;R^44;h = rho,pi,R^4,h4
Em cilíndricas, rho;2pi;R^22;h^312 = rho,pi,R^2,h^312 , então
Ix = Mpi R^2 hl(pi R^4 h4 + pi R^2 h^312r) = Ml(R^24 + h^212r) = M12(3R^2 + h^2)
Logo
Separa em duas integrais:
  1. ,
  2. .
Fazendo as contas:
  • .
Então a parte
Para a parte :
Logo
Somando e inserindo :

Passo 4

Calcular Iz = integral (x^2+y^2),dm :
Iz = integral-h/2^h/2!integral0^2pi!integral0^R r^2,rho,r,dr,dphi,dz = rho ,h,2pi integral0^R r^3,dr = rho,h,2pi,R^44 = rho,pi,R^4,h2
Em cilíndricas, Iz = Mpi R^2 h,pi R^4 h2 = 12MR^2 .
Substituindo :

Resposta

O tensor de inércia, em base cartesiana com eixo I = Ix & 0 & 0 0 & Iy & 0 0 & 0 & Iz = M12(3R^2 + h^2) & 0 & 0[6pt] 0 & M12(3R^2 + h^2) & 0[6pt] 0 & 0 & 12,M R^2 alinhado ao cilindro, fica
[
\mathbf{I} =

.
]

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