Considere-se um circuito elétrico constituído por uma força eletromotriz que produz uma queda de tensão
, uma resistência
, uma bobine com indutância
e um condensador com capacitância C, ligados em série (circuito RLC). Nessas condições a carga instantânea no condensador
é tal que
Supondo que
(volt),
(ohms),
(henry) e
(farad), e sabendo que
e
. Determinar a carga no condensador em cada instante
.
Passo 1
O enunciado dá um circuito serie RLC com indutância L, resistência R e capacitância C submetido a uma força eletromotriz E(t) = 100 cos(60 t). A carga q(t) no condensador satisfaz a equação de 2º ordem
com q(0)=0 e q’(0)=0. Vamos usar métodos de equações diferenciais lineares: encontrar a solução geral somando a homogênea e uma particular.
Passo 2
Primeiro substituímos os valores numéricos e dividimos tudo por L=0{,}1:
Como R/L=4/0{,}1=40, 1/(LC)=1/(0{,}1·1/40)=400 e E/L=100/0{,}1=1000, obtemos
Passo 3
A parte homogênea satisfaz
cuja raiz é dupla r=−20. Logo a solução homogênea é
Passo 4
Para a solução particular usamos coeficientes indeterminados. Fazemos o palpite
Calculamos q’{p} e q’’{p}, substituímos na equação diferencial e igualamos os coeficientes de
e
.
Passo 5
Do sistema linear
surgem as soluções
e
. Assim
Passo 6
A solução geral é
Aplicando q(0)=0 dá A=0{,}2. Para q’(0)=0 calculamos q’(t), avaliamos em t=0 e achamos B=-5. Inserindo A e B obtemos a expressão final.
Resposta
q(t) = \bigl(0{,}2 - 5t\bigr)e^{-20t} ; - 0{,}2\cos(60t) + 0{,}15\sin(60t)