A posição de uma partícula P1 no instante t é dada por:
x(t)=3 sin t, y(t)=2 cos t, 0 <= t <= 2 pi
e a posição de uma segunda partícula P2 é dada por:
x(t)=-3+cos t, y(t)=1+sin t, 0 <= t <= 2 pi
As partículas P1 e P2 colidem? Se sim, encontre os pontos de colisão.
Nota: Um ponto de colisão ocorre quando x1=x2 e y1=y2 para o mesmo t.

Passo 1

O enunciado dá as trajetórias paramétricas de P1 e P2 e pergunta se há colisão, ou seja, se existe algum t em [0,2pi] tal que
x1(t)=x2(t) e y1(t)=y2(t)
Conteúdo da matéria: interseção de curvas paramétricas no plano.

Passo 2

Escrevemos o sistema a partir das equações
x1(t)=3sin t, ; y1(t)=2cos t,
x2(t)=-3+cos t, ; y2(t)=1+sin t
Igualando:
3sin t = -3 + cos t, 2cos t = 1 + sin t
Reescrevendo em forma linear em sin t e cos t:
3sin t ;-;cos t = -3, -sin t;+;2cos t = 1

Passo 3

Para eliminar sin t, multiplicamos a segunda equação por 3 e somamos com a primeira:
-3sin t + 6cos t = 3,
3sin t - cos t = -3,
(-3sin t + 3sin t) + (6cos t - cos t) = 3 - 3 Longrightarrow 5cos t = 0 Longrightarrow cos t = 0

Passo 4

Substituindo cos t=0 em -sin t + 2cos t = 1 obtemos
-,sin t = 1 Longrightarrow sin t = -1
A única solução em [0,2pi] que satisfaz cos t=0 e sin t=-1 é
t = tfrac3pi2

Passo 5

No instante t=tfrac3pi2, a posição de ambas as partículas é
x = 3sin!l(tfrac3pi2r) = -3, y = 2cos!l(tfrac3pi2r) = 0

Resposta

As partículas colidem sim, no instante t=tfrac3pi2, no ponto (-3,0).

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