Considere um circuito RL série ( \boldsymbol{R}=\mathbf{5 0} \boldsymbol{\Omega} \boldsymbol{L}=\mathbf{0 , 2 5 H} ), alimentado por uma fonte de tensão alternada, \boldsymbol{V}=\mathbf{1 7 9 , 6 s e n ( 3 1 4 , 1 6} \boldsymbol{t}+\mathbf{5 , 2} \boldsymbol{)}^{\boldsymbol{\circ}} \boldsymbol{V}.
Qual o valor do ângulo (em graus) da impedância total (forma polar)?

Passo 1

Entender o que o enunciado dá e o que pede. Pergunta: qual é o valor do ângulo da impedância total (em graus) do circuito série R\!-\!L?\n
Dados fornecidos:
R = 50\\ \Omega
L = 0,25\\ \mathrm{H}
A fonte é \;V = 179,6\,\sin\bigl(314,16\,t + 5,2^\circ\bigr)\;\mathrm{V}, então o enunciado nos dá explicitamente a frequência angular:
\omega = 314,16\\ \mathrm{rad/s}
O que pedir: o ângulo (argumento) da impedância total Z em forma polar, isto é o ângulo \theta = \arg(Z) em graus.

Passo 2

Relembrar como é a impedância de um circuito série R\!-\!L. Em regime senoidal, usando números complexos (fasores), a impedância do resistor é \;Z_R = R\; (real) e a do indutor é \;Z_L = j\omega L\; (imaginária positiva). A impedância total em série é soma:
Z = Z_R + Z_L = R + j\omega L.
Aqui j é a unidade imaginária ( j^2 = -1), R é a resistência em \Omega, \omega é a frequência angular em \mathrm{rad/s} e L é a indutância em henries.

Passo 3

Calcular a reatância indutiva \omega L. Usamos os valores dados:
\omega = 314,16\quad\text{e}\quad L = 0,25
Logo:
\omega L = 314,16 \times 0,25 = 78,54\\ \Omega.
Portanto a impedância total em forma retangular é
Z = 50 + j\,78,54\\ \Omega.

Passo 4

Converter a impedância retangular para forma polar. A forma polar de Z é dada por magnitude e ângulo:
|Z| = \sqrt{(\Re Z)^2 + (\Im Z)^2}
\theta = \arg(Z) = \arctan\!\left(\dfrac{\Im Z}{\Re Z}\right)
Aqui \Re Z é a parte real ( R) e \Im Z é a parte imaginária ( \omega L). No nosso caso:
\Re Z = 50,\qquad \Im Z = 78,54.
Para o ângulo interessa a fórmula do arco tangente acima.

Passo 5

Aplicar a fórmula do ângulo e calcular passo a passo. Primeiro a razão:
\dfrac{\Im Z}{\Re Z} = \dfrac{78,54}{50} = 1,5708.
Agora usamos a função arco-tangente para obter o ângulo em radianos e em seguida convertemos para graus (na prática de prova você pode usar a tecla \arctan e selecionar modo graus na calculadora). Então:
\theta = \arctan(1,5708).
Uma forma prática de estimar sem muita mágica: note que \arctan(1)=45^\circ. Para refinar, usamos a identidade
\arctan(x) = 45^\circ + \arctan\!\left(\dfrac{x-1}{1+x}\right)
para x>0. Aqui x=1,5708, então
\dfrac{x-1}{1+x} = \dfrac{0,5708}{2,5708} \approx 0,2221,
e \arctan(0,2221)\approx 12,53^\circ. Somando:
\theta \approx 45^\circ + 12,53^\circ = 57,53^\circ.

Passo 6

Interpretação e arredondamento final. O ângulo positivo indica que a impedância é indutiva (a tensão no circuito adianta a corrente). O valor calculado com precisão razoável é
\theta \approx 57,53^\circ.
Se precisar de menos casas, arredonde para 57,5^\circ ou 58^\circ, conforme pedido da prova.

Resposta

57,53^\circ

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