Considere um circuito RC série com fem \mathcal{E}=24.0 \mathrm{~V}, R=280000 \Omega e C=36.0 \mu \mathrm{~F}. Determine:
(A) A carga máxima que o capacitor pode receber ao ser carregado;
(B) A energia máxima que o capacitor pode receber ao ser carregado;
(C) O tempo necessário para que a carga do capacitor atinja o valor de 75 por cento da carga máxima;

Passo 1

O enunciado descreve um circuito série RC submetido a uma fem constante \mathcal{E}=24{,}0\\ \mathrm{V}, com resistência R=280\,000\\ \Omega e capacitância C=36{,}0\,\mu\mathrm{F}. Vamos usar as fórmulas de carga em equilíbrio, energia armazenada e a equação de carregamento exponencial:
Q_{\max}=C\,\mathcal{E},\quad U_{\max}=\tfrac12\,C\,\mathcal{E}^2,\quad Q(t)=Q_{\max}\bigl(1-e^{-t/(RC)}\bigr).

Passo 2

Para encontrar a carga máxima, usamos
Q_{\max}=C\,\mathcal{E}
Substituindo C=36{,}0\times10^{-6}\,\mathrm{F} e \mathcal{E}=24{,}0\\ \mathrm{V},
Q_{\max}=(36{,}0\times10^{-6})(24{,}0) =8,64\times10^{-4}\,\mathrm{C}.

Passo 3

Para a energia máxima armazenada no capacitor, usamos
U_{\max}=\frac12\,C\,\mathcal{E}^2.
Substituindo os valores,
U_{\max} =\frac12\,(36{,}0\times10^{-6})(24{,}0)^2 =\frac12\,(36{,}0\times10^{-6})(576) =1,0368\times10^{-2}\,\mathrm{J}.
Arredondando a três algarismos significativos,
U_{\max}=1,04\times10^{-2}\,\mathrm{J}.

Passo 4

Queremos o tempo t tal que Q(t)=0{,}75\,Q_{\max}. Da equação
0{,}75=1-e^{-t/(RC)}
vem
e^{-t/(RC)}=0{,}25 \quad\Longrightarrow\quad -\frac{t}{RC}=\ln(0{,}25) \quad\Longrightarrow\quad t=-RC\ln(0{,}25)=RC\ln(4).
O tempo de constante é
RC=(280\,000)(36{,}0\times10^{-6})=10{,}08\\ \mathrm{s},
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t=10{,}08\ln(4)\approx13{,}97\\ \mathrm{s}.

Resposta

(A) Q_{\max}=8{,}64\times10^{-4}\,\mathrm{C}.
(B) U_{\max}=1{,}04\times10^{-2}\,\mathrm{J}.
(C) t\approx13{,}97\\ \mathrm{s}.

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