Considere um código de bloco (8,4), sistemático, cujos bits de paridade vi, i=0, ldots, 3 são dados pelas equações abaixo:
& v0=u1+u2+u3, & v1=u0+u1+u2, & v2=u0+u1+u3, & v3=u0+u2+u3,
onde u0, u1, u2 e u3 são os dígitos da mensagem. Qual é a matriz geradora do código? E a matriz de verificação de paridade?

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o exercício pede e que teoria a gente vai usar.
Enunciado em poucas palavras: temos um código de bloco linear sistemático v0&=u1+u2+u3, v1&=u0+u1+u2, v2&=u0+u1+u3, v3&=u0+u2+u3, . Os bits de paridade G = l[I4 mid Pr], são dados por
H = l[-P^T mid I4r],
com operações em .
Conteúdo envolvido:
  1. Montagem da matriz geradora em forma sistemática, ou seja onde é a matriz de coeficientes dos bits de paridade.
  2. Montagem da matriz de verificação de paridade , que em forma sistemática vale mas em o “menos” some, então fica .

Passo 2

A gente precisa extrair a matriz P = 0 & 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 & 0 1 & 1 & 0 & 1 1 & 0 & 1 & 1 a partir das equações de paridade. Cada coluna de corresponde a um e cada linha ao coeficiente de .
  • Para , os coeficientes de são .
  • Para , temos .
  • Para , temos .
  • Para , temos .
Assim

Passo 3

Agora montamos a matriz geradora sistemática G ;=; 1 & 0 & 0 & 0 &vline& 0 & 1 & 1 & 1 0 & 1 & 0 & 0 &vline& 1 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 0 &vline& 1 & 1 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 1 &vline& 1 & 0 & 1 & 1 o que equiva<= a 1 &0&0&0&0&1&1&1 0 &1&0&0&1&1&1&0 0 &0&1&0&1&1&0&1 0 &0&0&1&1&0&1&1 . Em :

Passo 4

Para a matriz de verificação de paridade H = l[P^T mid I4r] usamos
P^T = 0 &1 &1 &1 1 &1 &1 &0 1 &1 &0 &1 1 &0 &1 &1 ,
Como
H ;=; 0 &1 &1 &1 &vline& 1 &0 &0 &0 1 &1 &1 &0 &vline& 0 &1 &0 &0 1 &1 &0 &1 &vline& 0 &0 &1 &0 1 &0 &1 &1 &vline& 0 &0 &0 &1 equiv 0&1&1&1&1&0&0&0 1&1&1&0&0&1&0&0 1&1&0&1&0&0&1&0 1&0&1&1&0&0&0&1
segue

Resposta

Matriz geradora
G = 1 &0&0&0&0&1&1&1 0 &1&0&0&1&1&1&0 0 &0&1&0&1&1&0&1 0 &0&0&1&1&0&1&1 ,
e matriz de verificação de paridade
H = 0&1&1&1&1&0&0&0 1&1&1&0&0&1&0&0 1&1&0&1&0&0&1&0 1&0&1&1&0&0&0&1

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