Isso é matéria de códigos lineares: dados , a gente sabe que o tamanho da mensagem é número de linhas, o comprimento do código é número de colunas, e a gente vai usar operações em (soma módulo 2).
Passo 2
(a) Quantos bits entram no codificador? Como tem 4 linhas, .
(b) Quantos bits saem? tem 7 colunas, então . Os bits de paridade são .
Para achar a distância mínima , basta ver o peso (número de 1’s) da palavra-código não nula de menor peso. Dá para ver que o mínimo é 3 (por exemplo, tem três uns). Então
Passo 4
(d) Num código de distância :
Detecta até erros.
Corrige até erro.
Passo 5
(e) Para decodificar um vetor recebido H = l[-P^T mid I3r], , a gente monta a matriz de verificação de paridade
P = 1&1&01&0&10&1&11&1&1 Longrightarrow H = 1&1&0&1&1&0&0 1&0&1&1&0&1&0 0&1&1&1&0&0&1
onde s = H,r^T pmod2 . No nosso caso
Aí você calcula a síndrome
Se , não detectou erro.
Se , olha em qual coluna de ela aparece, esse índice é o bit que foi invertido. Corrige e pega os 4 primeiros bits como mensagem estimada.
Passo 6
(f) A probabilidade de erro não detectado num BSC de probabilidade Pu(e) ;=;sumw=dmin^n Aw,p^w,(1-p)^,n-w, é
A0=1,;A3=7,;A4=7,;A7=1
onde Pu(e) =7,p^3(1-p)^4;+;7,p^4(1-p)^3;+;p^7 é o número de palavras-código de peso Pu(e)approx 7cdot10^-6,(0,99)^4 +7cdot10^-8,(0,99)^3 +10^-14 approx6,8times10^-6 . No nosso (7,4,3) Hamming a distribuição é