Considere uma colisão completamente elástica entre dois objetos. O primeiro objeto, de massa m, tem velocidade, antes da colisão, v=v x. O segundo objeto, de massa M, tem velocidade (v / 2) x antes da colisão. Após a colisão, o objeto de massa m passa a ter velocidade v1=-v1 y e o objeto de massa M passa a ter velocidade v2. A velocidade v2 forma um ângulo de theta com o eixo x.
Determine v1 e v2, em termos de m, M e v.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos uma colisão elástica em 2D entre:
  • massa m com velocidade inicial vec v = v,hat x,
  • massa M com velocidade inicial (v/2),hat x.
    Depois da batida, m vai pra baixo com vec v1 = -v1,hat y e M sai com vec v2 fazendo ângulo theta com o eixo x.
    Conteúdo: conservação de momento (componentes x,y) e conservação de energia cinética. A ideia é escrever essas equações e tentar achar v1 e v2.

Passo 2

Conservação do momento em x:
m,v + M,v2 ;=; M,v2costheta,
Ou seja
v2costheta = m + M/2M;v,

Passo 3

Conservação do momento em y:
0 = -,m,v1 + M,v2sintheta,,
logo
v2sintheta = mM;v1,

Passo 4

Conservação da energia cinética (elástica):
tfrac12,m,v^2 + tfrac12,Ml(tfrac v2r)^2 ;=; tfrac12,m,v1^2 + tfrac12,M,v2^2,
Multiplicando por 2:
m,v^2 + M,v^24 = m,v1^2 + M,v2^2,

Passo 5

Agora, escrevemos
$$v_2^2 = (v_2\cos\theta)^2 + (v_2\sin\theta)^2
= \Bigl(\tfrac{m + M/2}{M}v\Bigr)^{2} ;+;\Bigl(\tfrac{m}{M}v_1\Bigr)^{2},. v2^2 = (v2costheta)^2 + (v2sintheta)^2 = l(tfracm + M/2Mvr)^2 ;+;l(tfracmMv1r)^2, v_1^2 = -,\frac{m}{m+M};v^2,. $$
Mas isso dá número negativo dentro da raiz, ou seja não há solução real para v1^2 = -,mm+M;v^2, (nem para v1) mantendo tudo real e v2 arbitrário.

Resposta

Não existem valores reais de v1 e v2 que satisfaçam simultaneamente conservação de momento (x, y) e de energia para os dados do enunciado.

Exercícios relacionados