Considere uma colisão completamente elástica entre dois objetos. O primeiro objeto, de massa m, tem velocidade, antes da colisão, v=v x. O segundo objeto, de massa M, tem velocidade (v / 2) x antes da colisão. Após a colisão, o objeto de massa m passa a ter velocidade v1=-v1 y e o objeto de massa M passa a ter velocidade v2. A velocidade v2 forma um ângulo de theta com o eixo x.
Determine a velocidade v2, em termos de m, M, v e theta.

Passo 1

Vamos resolver um problema de colisão completamente elástica entre dois objetos. Estamos trabalhando com conceitos de cinética e conservação de momento. Precisaremos usar as leis de conservação do momento linear e da energia cinética para encontrar a velocidade $ v_{2} $ do segundo objeto após a colisão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em uma colisão completamente elástica, tanto o momento linear quanto a energia cinética são conservados. Isso significa que a soma do momento e da energia antes da colisão é igual à soma após a colisão.

Passo 3

Vamos anotar os dados fornecidos:
  • Massa do primeiro objeto: $ m $
  • Velocidade inicial do primeiro objeto: $ \vec{v} = v \hat{x} $
  • Massa do segundo objeto: $ M $
  • Velocidade inicial do segundo objeto: $ \frac{v}{2} \hat{x} $
  • Velocidade final do primeiro objeto: $ \vec{v}{1} = -v{1} \hat{y} $
  • Velocidade final do segundo objeto: $ \vec{v}_{2} $, formando um ângulo $ \theta $ com o eixo $ x $

Passo 4

Vamos começar aplicando a conservação do momento linear. O momento é um vetor, então precisamos considerar as componentes em $ x $ e $ y $ separadamente.
Componente em $ x $:
x
Componente em $ y $:
y

Passo 5

Agora, aplicamos a conservação da energia cinética. A energia cinética antes da colisão deve ser igual à energia cinética após a colisão.
12 m v^2 + 12 M (v2)^2 = 12 m v1^2 + 12 M v2^2

Passo 6

Vamos simplificar as equações da conservação do momento linear:
Para a componente em $ x $:
x
Podemos fatorar $ v $:
m v + M v2 = M v2 cos(theta)
Isolando $ v_{2} \cos(\theta) $:
v
Para a componente em $ y $:
v (m + M2) = M v2 cos(theta)
Isolando $ v_{1} $:
v2 cos(theta)

Passo 7

Agora, voltamos à equação da energia cinética:
12 m v^2 + 12 M (v2)^2 = 12 m v1^2 + 12 M v2^2
Substituindo $ v_{1} $ da Passo 6:
v1
Simplificando:
12 m v^2 + 12 M (v2)^2 = 12 m (M v2 sin(theta)m)^2 + 12 M v2^2
12 m v^2 + 12 M v^24 = 12 m M^2 v2^2 sin^2(theta)m^2 + 12 M v2^2

Passo 8

Multiplicamos toda a equação por 2 para eliminar os denominadores:
m v^2 + M v^24 = M^2 v2^2 sin^2(theta)m + M v2^2
Fatorando $ v_{2}^{2} $:
v2^2

Passo 9

Isolamos $ v_{2}^{2} $:
v2^2
Simplificando:
v2^2 = m v^2 + M v^24M^2 sin^2(theta)m + M

Passo 10

Por fim, tiramos a raiz quadrada para encontrar $ v_{2} $:
v2
Podemos simplificar mais um pouco:
v2 = raizv^2 (m + M4)M (M sin^2(theta)m + 1)

Resposta

A velocidade $ v_{2} $ do segundo objeto após a colisão é dada por:
v2

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