Considere uma colisão completamente elástica entre dois objetos. O primeiro objeto, de massa
, tem velocidade, antes da colisão,
. O segundo objeto, de massa
, tem velocidade
antes da colisão. Após a colisão, o objeto de massa
passa a ter velocidade
e o objeto de massa
passa a ter velocidade
. A velocidade
forma um ângulo de
com o eixo
.
Determine a velocidade
, em termos de
e
.
Determine a velocidade
Passo 1
Vamos resolver um problema de colisão completamente elástica entre dois objetos. Estamos trabalhando com conceitos de cinética e conservação de momento. Precisaremos usar as leis de conservação do momento linear e da energia cinética para encontrar a velocidade $ v_{2} $ do segundo objeto após a colisão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em uma colisão completamente elástica, tanto o momento linear quanto a energia cinética são conservados. Isso significa que a soma do momento e da energia antes da colisão é igual à soma após a colisão.
Passo 3
Vamos anotar os dados fornecidos:
- Massa do primeiro objeto: $ m $
- Velocidade inicial do primeiro objeto: $ \vec{v} = v \hat{x} $
- Massa do segundo objeto: $ M $
- Velocidade inicial do segundo objeto: $ \frac{v}{2} \hat{x} $
- Velocidade final do primeiro objeto: $ \vec{v}{1} = -v{1} \hat{y} $
- Velocidade final do segundo objeto: $ \vec{v}_{2} $, formando um ângulo $ \theta $ com o eixo $ x $
Passo 4
Vamos começar aplicando a conservação do momento linear. O momento é um vetor, então precisamos considerar as componentes em $ x $ e $ y $ separadamente.
Componente em $ x $:
Componente em $ y $:
Passo 5
Agora, aplicamos a conservação da energia cinética. A energia cinética antes da colisão deve ser igual à energia cinética após a colisão.
Passo 6
Vamos simplificar as equações da conservação do momento linear:
Para a componente em $ x $:
Podemos fatorar $ v $:
Isolando $ v_{2} \cos(\theta) $:
Para a componente em $ y $:
Isolando $ v_{1} $:
Passo 7
Agora, voltamos à equação da energia cinética:
Substituindo $ v_{1} $ da Passo 6:
Simplificando:
Passo 8
Multiplicamos toda a equação por 2 para eliminar os denominadores:
Fatorando $ v_{2}^{2} $:
Passo 9
Isolamos $ v_{2}^{2} $:
Simplificando:
Passo 10
Por fim, tiramos a raiz quadrada para encontrar $ v_{2} $:
Podemos simplificar mais um pouco:
Resposta
A velocidade $ v_{2} $ do segundo objeto após a colisão é dada por: