Considere as componentes x e y da equação do movimento e a equação da continuidade integradas verticalmente:
\begin{aligned} & \frac{\partial P_{i}}{\partial x}=f M_{y}+\tau_{x} \\\ & \frac{\partial P_{i}}{\partial y}=-f M_{x}+\tau_{y} \\\ & \frac{\partial M_{x}}{\partial x}+\frac{\partial M_{y}}{\partial y}=0 \end{aligned}
onde f=f_{0}+\beta y.
a) A partir dessas equações derive a equação do transporte de Sverdrup: \beta M_{y}=\nabla_{z} \times \tau. (1.0 pt)
b) Considere que o termo \frac{\partial \tau_{y}}{\partial x} desprezível na equação do transporte de Sverdrup. Sabendo que beta é dada por: \beta=\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{2 \Omega \cos \theta}{R}, onde R é o raio da Terra, obtenha matematicamente a componente zonal do transporte de Sverdrup na sua forma prática:
M_{x}=\frac{\Delta x}{2 \Omega \cos \theta}\left[\left\langle\frac{\partial \tau_{x}}{\partial y}\right\rangle \tan \theta+\left\langle\frac{\partial^{2} \tau_{x}}{\partial y^{2}}\right\rangle R\right]
onde \Delta x é a distância entre a borda leste ( \mathrm{x}=0 ) e o limite oeste do domínio. ( 1.0 pt )

Passo 1

O que o enunciado pede e as informações dadas.
  • Pedidos:
    1. (a) A partir das equações dadas, derivar a equação do transporte de Sverdrup: \beta M_{y}=\nabla_{z}\times\tau.
    2. (b) Admitindo que \partial \tau_{y}/\partial x é desprezível, usar \beta=\dfrac{2\Omega\cos\theta}{R} e obter matematicamente a expressão prática para a componente zonal do transporte de Sverdrup
    M_{x}=\frac{\Delta x}{2\Omega\cos\theta}\left[\left\langle\frac{\partial \tau_{x}}{\partial y}\right\rangle \tan\theta+\left\langle\frac{\partial^{2}\tau_{x}}{\partial y^{2}}\right\rangle R\right].
  • Informações dadas (explicitadas): \begin{aligned} &\frac{\partial P_{i}}{\partial x}=f M_{y}+\tau_{x},\\[4pt] &\frac{\partial P_{i}}{\partial y}=-f M_{x}+\tau_{y},\\[4pt] &\frac{\partial M_{x}}{\partial x}+\frac{\partial M_{y}}{\partial y}=0, \end{aligned}com f=f_{0}+\beta y (ou seja, f depende somente de y) e \beta=\dfrac{\partial f}{\partial y}.
  • Observações que vou usar sem pedir nada: podemos igualar derivadas mistas (as derivadas cruzadas de P_{i} são iguais), usar regra do produto, e que \partial f/\partial x=0 pois f só depende de y. Também, para (b) vou usar média zonal definida como \langle A\rangle=(1/\Delta x)\int_{0}^{\Delta x}A\,dx e uma condição de contorno usual: M_{x} na borda leste (x=0) é tomada como referência (por simplicidade, podemos tomar M_{x}(x=0)=0) para obter M_{x} no limite oeste x=\Delta x.]

Passo 2

Derivando as equações para relacionar as segundas derivadas de P_{i}.
  • Derivo a primeira equação em relação a y: \frac{\partial^{2}P_{i}}{\partial y\partial x}=\frac{\partial}{\partial y}\big(f M_{y}\big)+\frac{\partial \tau_{x}}{\partial y}.Pela regra do produto, \frac{\partial}{\partial y}\big(f M_{y}\big)=f\frac{\partial M_{y}}{\partial y}+M_{y}\frac{\partial f}{\partial y}.
  • Derivo a segunda equação em relação a x: \frac{\partial^{2}P_{i}}{\partial x\partial y}=\frac{\partial}{\partial x}\big(-f M_{x}\big)+\frac{\partial \tau_{y}}{\partial x}.Novamente, pela regra do produto, \frac{\partial}{\partial x}\big(-f M_{x}\big)=-f\frac{\partial M_{x}}{\partial x}-M_{x}\frac{\partial f}{\partial x}.

Passo 3

Igualando as derivadas mistas e simplificando com a continuidade.
  • As derivadas mistas de P_{i} são iguais, então igualo as expressões do Passo 2: f\frac{\partial M_{y}}{\partial y}+M_{y}\frac{\partial f}{\partial y}+\frac{\partial \tau_{x}}{\partial y}=-f\frac{\partial M_{x}}{\partial x}-M_{x}\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial \tau_{y}}{\partial x}.
  • Uso que \partial f/\partial x=0 (pois f depende só de y) e a equação de continuidade \dfrac{\partial M_{x}}{\partial x}+\dfrac{\partial M_{y}}{\partial y}=0, então os termos com f combinam: f\Big(\frac{\partial M_{y}}{\partial y}+\frac{\partial M_{x}}{\partial x}\Big)+M_{y}\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial \tau_{y}}{\partial x}-\frac{\partial \tau_{x}}{\partial y}.
  • Pelo termo entre parênteses e pela continuidade, f\big(\cdots\big)=0. Restando M_{y}\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial \tau_{y}}{\partial x}-\frac{\partial \tau_{x}}{\partial y}.

Passo 4

Escrevendo a equação obtida em termos usuais (Sverdrup) e interpretação física.
  • Como \dfrac{\partial f}{\partial y}=\beta, a relação fica \beta M_{y}=\frac{\partial \tau_{y}}{\partial x}-\frac{\partial \tau_{x}}{\partial y}.
  • O lado direito é exatamente a componente vertical do rotor (curl) do campo de tensões de vento \tau, ou seja (\nabla\times\tau)_{z}. Portanto obtemos a equação do transporte de Sverdrup: \beta M_{y}=\nabla_{z}\times\tau.

Passo 5

Início da parte (b): desprezando \partial \tau_{y}/\partial x e achando M_{y}.
  • Se \partial \tau_{y}/\partial x é desprezível, da equação de Sverdrup temos \beta M_{y}\approx -\frac{\partial \tau_{x}}{\partial y},logo M_{y} \approx -\frac{1}{\beta}\frac{\partial \tau_{x}}{\partial y}.Esta é a forma local: a componente meridional do transporte é proporcional ao gradiente meridional da tensão zonal, com o fator 1/\beta.

Passo 6

Usando continuidade para relacionar M_{x} com derivadas de \tau_{x} e definindo média zonal.
  • Da continuidade: \frac{\partial M_{x}}{\partial x}=-\frac{\partial M_{y}}{\partial y}.
  • Substituo M_{y} do Passo 5: \frac{\partial M_{x}}{\partial x}=-\frac{\partial}{\partial y}\left(-\frac{1}{\beta}\frac{\partial \tau_{x}}{\partial y}\right)=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{1}{\beta}\frac{\partial \tau_{x}}{\partial y}\right).
  • Expando usando regra do produto: \frac{\partial M_{x}}{\partial x}=\frac{1}{\beta}\frac{\partial^{2}\tau_{x}}{\partial y^{2}}+\frac{\partial(1/\beta)}{\partial y}\frac{\partial \tau_{x}}{\partial y}.
  • Agora integro essa expressão em x de x=0 (borda leste) até x=\Delta x (limite oeste) e uso a média zonal \langle\cdot\rangle. Integrando e dividindo por \Delta x (ou reconhecendo a média zonal), \frac{M_{x}(\Delta x,y)-M_{x}(0,y)}{\Delta x}=\left\langle\frac{1}{\beta}\frac{\partial^{2}\tau_{x}}{\partial y^{2}}+\frac{\partial(1/\beta)}{\partial y}\frac{\partial \tau_{x}}{\partial y}\right\rangle.
  • Tomando a condição de referência M_{x}(0,y)=0 (borda leste) obtemos M_{x}(\Delta x,y)=\Delta x\left\langle\frac{1}{\beta}\frac{\partial^{2}\tau_{x}}{\partial y^{2}}+\frac{\partial(1/\beta)}{\partial y}\frac{\partial \tau_{x}}{\partial y}\right\rangle.

Passo 7

Expressando \dfrac{1}{\beta} e sua derivada em termos de \theta e simplificando para obter a forma final.
  • Dado \beta=\dfrac{2\Omega\cos\theta}{R}, temos \frac{1}{\beta}=\frac{R}{2\Omega\cos\theta}.
  • Precisamos de \dfrac{\partial(1/\beta)}{\partial y}. Usamos a relação entre variação meridional y e latitude \theta: dy=R\,d\theta, logo \dfrac{\partial}{\partial y}=\dfrac{1}{R}\dfrac{\partial}{\partial \theta}. Então \frac{\partial(1/\beta)}{\partial y}=\frac{1}{R}\frac{d}{d\theta}\left(\frac{R}{2\Omega\cos\theta}\right)=\frac{1}{2\Omega}\frac{d}{d\theta}\left(\frac{1}{\cos\theta}\right).
  • Calculo a derivada em \theta: \frac{d}{d\theta}\left(\frac{1}{\cos\theta}\right)=\frac{\sin\theta}{\cos^{2}\theta}=\frac{\tan\theta}{\cos\theta}.Assim \frac{\partial(1/\beta)}{\partial y}=\frac{1}{2\Omega}\cdot\frac{\tan\theta}{\cos\theta}=\frac{\tan\theta}{2\Omega\cos\theta}.
  • Substituo 1/\beta e \partial(1/\beta)/\partial y na expressão de M_{x} do Passo 6: M_{x}=\Delta x\left\langle \frac{R}{2\Omega\cos\theta}\frac{\partial^{2}\tau_{x}}{\partial y^{2}}+\frac{\tan\theta}{2\Omega\cos\theta}\frac{\partial \tau_{x}}{\partial y}\right\rangle.
  • Factor comum \dfrac{\Delta x}{2\Omega\cos\theta}: M_{x}=\frac{\Delta x}{2\Omega\cos\theta}\left\langle R\frac{\partial^{2}\tau_{x}}{\partial y^{2}}+\tan\theta\frac{\partial \tau_{x}}{\partial y}\right\rangle.
  • Reescrevendo a média de cada termo separadamente (notação pedida no enunciado): M_{x}=\frac{\Delta x}{2\Omega\cos\theta}\left[\left\langle\frac{\partial \tau_{x}}{\partial y}\right\rangle \tan\theta+\left\langle\frac{\partial^{2}\tau_{x}}{\partial y^{2}}\right\rangle R\right].

Resposta

(a) \displaystyle \beta M_{y}=\frac{\partial \tau_{y}}{\partial x}-\frac{\partial \tau_{x}}{\partial y}=\nabla_{z}\times\tau.\n(b) \displaystyle M_{x}=\frac{\Delta x}{2\Omega\cos\theta}\left[\left\langle\frac{\partial \tau_{x}}{\partial y}\right\rangle \tan\theta+\left\langle\frac{\partial^{2}\tau_{x}}{\partial y^{2}}\right\rangle R\right].

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