Considere as componentes
e
da equação do movimento e a equação da continuidade integradas verticalmente:
onde
.
a) A partir dessas equações derive a equação do transporte de Sverdrup:
. (1.0 pt)
b) Considere que o termo
desprezível na equação do transporte de Sverdrup. Sabendo que beta é dada por:
, onde
é o raio da Terra, obtenha matematicamente a componente zonal do transporte de Sverdrup na sua forma prática:
onde
é a distância entre a borda leste (
) e o limite oeste do domínio. ( 1.0 pt )
a) A partir dessas equações derive a equação do transporte de Sverdrup:
b) Considere que o termo
Passo 1
O que o enunciado pede e as informações dadas.
- Pedidos:
- (a) A partir das equações dadas, derivar a equação do transporte de Sverdrup:
. - (b) Admitindo que
é desprezível, usar e obter matematicamente a expressão prática para a componente zonal do transporte de Sverdrup
- (a) A partir das equações dadas, derivar a equação do transporte de Sverdrup:
- Informações dadas (explicitadas):
com (ou seja, depende somente de ) e . - Observações que vou usar sem pedir nada: podemos igualar derivadas mistas (as derivadas cruzadas de
são iguais), usar regra do produto, e que pois só depende de . Também, para (b) vou usar média zonal definida como e uma condição de contorno usual: na borda leste é tomada como referência (por simplicidade, podemos tomar ) para obter no limite oeste .]
Passo 2
Derivando as equações para relacionar as segundas derivadas de
.
- Derivo a primeira equação em relação a
: Pela regra do produto, - Derivo a segunda equação em relação a
: Novamente, pela regra do produto,
Passo 3
Igualando as derivadas mistas e simplificando com a continuidade.
- As derivadas mistas de
são iguais, então igualo as expressões do Passo 2: - Uso que
(pois depende só de ) e a equação de continuidade , então os termos com combinam: - Pelo termo entre parênteses e pela continuidade,
. Restando
Passo 4
Escrevendo a equação obtida em termos usuais (Sverdrup) e interpretação física.
- Como
, a relação fica - O lado direito é exatamente a componente vertical do rotor (curl) do campo de tensões de vento
, ou seja . Portanto obtemos a equação do transporte de Sverdrup:
Passo 5
Início da parte (b): desprezando
e achando
.
- Se
é desprezível, da equação de Sverdrup temos logo Esta é a forma local: a componente meridional do transporte é proporcional ao gradiente meridional da tensão zonal, com o fator .
Passo 6
Usando continuidade para relacionar
com derivadas de
e definindo média zonal.
- Da continuidade:
- Substituo
do Passo 5: - Expando usando regra do produto:
- Agora integro essa expressão em
de (borda leste) até (limite oeste) e uso a média zonal . Integrando e dividindo por (ou reconhecendo a média zonal), - Tomando a condição de referência
(borda leste) obtemos
Passo 7
Expressando
e sua derivada em termos de
e simplificando para obter a forma final.
- Dado
, temos - Precisamos de
. Usamos a relação entre variação meridional e latitude : , logo . Então - Calculo a derivada em
: Assim - Substituo
e na expressão de do Passo 6: - Factor comum
: - Reescrevendo a média de cada termo separadamente (notação pedida no enunciado):
Resposta
(a)
.\n(b)
.