Considere um campo vetorial F qualquer. O operador rotacional aplicado à este campo é dado por:
\nabla \times F=\left(\frac{\partial F_{z}}{\partial y}-\frac{\partial F_{y}}{\partial z}\right) i+\left(\frac{\partial F_{x}}{\partial z}-\frac{\partial F_{z}}{\partial x}\right) j+\left(\frac{\partial F_{y}}{\partial x}-\frac{\partial F_{x}}{\partial y}\right) k
Considerando a expressão acima, calcule o rotacional ( \nabla \times ) dos seguintes campos vetoriais:
F=y^{2} i+x^{2} j+e^{z} k

Passo 1

O enunciado dá a fórmula do rotacional (operador \nabla\times) e pede para calcular o rotacional do campo vetorial
F = y^{2}\,\mathbf{i} + x^{2}\,\mathbf{j} + e^{z}\,\mathbf{k}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão do operador rotacional:
\nabla \times F=\left(\frac{\partial F_{z}}{\partial y}-\frac{\partial F_{y}}{\partial z}\right)\mathbf{i}+\left(\frac{\partial F_{x}}{\partial z}-\frac{\partial F_{z}}{\partial x}\right)\mathbf{j}+\left(\frac{\partial F_{y}}{\partial x}-\frac{\partial F_{x}}{\partial y}\right)\mathbf{k}.
  • O campo F com componentes F_{x}, F_{y} e F_{z} (respectivamente as componentes nas direções \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}):
F_x = y^{2},\qquad F_y = x^{2},\qquad F_z = e^{z}.
A tarefa: calcular \nabla\times F substituindo essas componentes na fórmula acima e simplificar.

Passo 2

Explicando o que são as componentes e como vamos usá‑las. Para um campo vetorial F escrito como
F = F_x\,\mathbf{i} + F_y\,\mathbf{j} + F_z\,\mathbf{k},
cada F_x,F_y,F_z é uma função de (x,y,z). No nosso caso já identificamos:
F_x = y^{2},\quad F_y = x^{2},\quad F_z = e^{z}.
Significado prático: quando formos derivar em relação a uma variável, tratamos as outras como constantes (isso é derivada parcial).

Passo 3

Rápida revisão do que é derivada parcial (pra você ficar tranquilo): a derivada parcial \frac{\partial}{\partial x} de uma função trata y e z como constantes e difere da derivada usual quando a função depende de várias variáveis. Exemplos simples:
\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}) = 2x,\qquad \frac{\partial}{\partial y}(x^{2}) = 0,
porque x^{2} não depende de y. Outro exemplo:
\frac{\partial}{\partial z}(e^{z}) = e^{z},\qquad \frac{\partial}{\partial x}(e^{z}) = 0,
pois e^{z} depende só de z. Isso é tudo que usaremos: derivar cada componente em relação às variáveis pedidas, mantendo as outras fixas.

Passo 4

Calcular a componente na direção \mathbf{i}, que é
\left(\frac{\partial F_{z}}{\partial y}-\frac{\partial F_{y}}{\partial z}\right).
Compute cada parcela:
\frac{\partial F_{z}}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(e^{z}) = 0
(since e^{z} não depende de y), e
\frac{\partial F_{y}}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}(x^{2}) = 0
(pois x^{2} não depende de z). Portanto a componente \mathbf{i} vale
0 - 0 = 0.

Passo 5

Calcular a componente na direção \mathbf{j}, que é
\left(\frac{\partial F_{x}}{\partial z}-\frac{\partial F_{z}}{\partial x}\right).
Compute cada parcela:
\frac{\partial F_{x}}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}(y^{2}) = 0
(pois y^{2} não depende de z), e
\frac{\partial F_{z}}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(e^{z}) = 0
(pois e^{z} não depende de x). Portanto a componente \mathbf{j} vale
0 - 0 = 0.

Passo 6

Calcular a componente na direção \mathbf{k}, que é
\left(\frac{\partial F_{y}}{\partial x}-\frac{\partial F_{x}}{\partial y}\right).
Compute cada parcela:
\frac{\partial F_{y}}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x^{2}) = 2x,
e
\frac{\partial F_{x}}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(y^{2}) = 2y.
Assim a componente \mathbf{k} vale
2x - 2y = 2(x - y).

Passo 7

Agora juntamos as três componentes encontradas para obter o rotacional completo:
\nabla\times F = 0\,\mathbf{i} + 0\,\mathbf{j} + \bigl(2x - 2y\bigr)\,\mathbf{k}.
Podemos escrever de forma mais limpa como
\nabla\times F = 2(x - y)\,\mathbf{k}.

Resposta

\nabla\times F = 2(x - y)\,\mathbf{k}

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