Considere um campo vetorial
qualquer.
operador rotacional aplicado à este campo é dado por:
Considerando a expressão acima, calcule o rotacional (
) dos seguintes campos vetoriais:
Passo 1
O enunciado dá a fórmula do rotacional (operador
) e pede para calcular o rotacional do campo vetorial
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão do operador rotacional:
- O campo
com componentes , e (respectivamente as componentes nas direções ):
A tarefa: calcular
substituindo essas componentes na fórmula acima e simplificar.
Passo 2
Explicando o que são as componentes e como vamos usá‑las. Para um campo vetorial
escrito como
cada
é uma função de
. No nosso caso já identificamos:
Significado prático: quando formos derivar em relação a uma variável, tratamos as outras como constantes (isso é derivada parcial).
Passo 3
Rápida revisão do que é derivada parcial (pra você ficar tranquilo): a derivada parcial
de uma função trata
e
como constantes e difere da derivada usual quando a função depende de várias variáveis. Exemplos simples:
porque
não depende de
. Outro exemplo:
pois
depende só de
. Isso é tudo que usaremos: derivar cada componente em relação às variáveis pedidas, mantendo as outras fixas.
Passo 4
Calcular a componente na direção
, que é
Compute cada parcela:
(since
não depende de
), e
(pois
não depende de
). Portanto a componente
vale
Passo 5
Calcular a componente na direção
, que é
Compute cada parcela:
(pois
não depende de
), e
(pois
não depende de
). Portanto a componente
vale
Passo 6
Calcular a componente na direção
, que é
Compute cada parcela:
e
Assim a componente
vale
Passo 7
Agora juntamos as três componentes encontradas para obter o rotacional completo:
Podemos escrever de forma mais limpa como