Considere as concatenações de símbolos do alfabeto da Lógica Proposicional dadas a seguir. Identifique aquelas que são fórmulas da Lógica Proposicional. Considere a forma simplificada de representação de fórmulas, em que os símbolos de pontuação podem ser omitidos.
(\mathrm{P} \wedge \mathrm{Q}) \rightarrow((\mathrm{Q} \leftrightarrow \neg \mathrm{R}))

Passo 1

O enunciado apresenta a concatenação
(P \wedge Q)\rightarrow\bigl((Q \leftrightarrow \neg R)\bigr)
e pede para verificar se ela é uma fórmula bem-formada da Lógica Proposicional. Vamos usar a definição recursiva de fórmula:
  1. Toda proposição atômica (como P,Q,R) é fórmula.
  2. Se A é fórmula, então \neg A é fórmula.
  3. Se A e B são fórmulas, então (A\wedge B), (A\vee B), (A\to B), (A\leftrightarrow B) são fórmulas.

Passo 2

As letras P, Q e R são proposições atômicas, logo cada uma é fórmula.

Passo 3

Aplique o conectivo de negação em R. Pela regra 2, como R é fórmula, \neg R é fórmula.

Passo 4

Combine Q (fórmula) com \neg R (fórmula) usando o conectivo bicondicional \leftrightarrow. Pela regra 3,
(Q \leftrightarrow \neg R)
é fórmula.

Passo 5

Combine P e Q usando o conectivo conjuntivo \wedge. Pela regra 3,
(P \wedge Q)
é fórmula.

Passo 6

Por fim, junte as duas subfórmulas (P \wedge Q) e (Q \leftrightarrow \neg R) com o condicional \rightarrow. Pela regra 3,
(P \wedge Q)\rightarrow(Q \leftrightarrow \neg R)
é fórmula. Os parênteses adicionais em torno de (Q \leftrightarrow \neg R) são apenas redundantes na notação simplificada.

Resposta

A expressão dada é uma fórmula bem-formada da Lógica Proposicional.

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