Considere as concatenações de símbolos a seguir. A partir da introdução de símbolosde pontuação, identifique quais fórmulas da Lógica Proposicional é
possível obter.
\neg \mathrm{P} \vee \mathrm{Q} \leftrightarrow \mathrm{Q}

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência de símbolos \neg P \lor Q \leftrightarrow Q
e pede para inserir símbolos de pontuação (parênteses) de modo a obter fórmulas bem formadas da Lógica Proposicional. Vamos usar a definição de fórmula:
  • Toda proposição atômica P, Q é fórmula.
  • Se A é fórmula, então \neg A é fórmula.
  • Se A e B são fórmulas, então (A\lor B) e (A\leftrightarrow B) são fórmulas.

Passo 2

Para montar todas as fórmulas possíveis, observamos onde o conectivo principal pode ficar:
  • Sem usar a negação como conectivo de nível mais externo, o principal pode ser ou \lor (terceiro símbolo) ou \leftrightarrow (quinto símbolo).
  • Usando a negação no nível mais externo (o primeiro símbolo \neg), abrimos parênteses para todo o restante e, dentro deles, o conectivo principal pode ser de novo \lor ou \leftrightarrow.

Passo 3

Fórmulas em que a negação não é o conectivo mais externo
  1. Conectivo principal \leftrightarrow (quinto símbolo). Então
  • Lado esquerdo: usa “ \neg P\lor Q” com \lor como principal.
  • Lado direito: o último Q.
    Fórmula:
(\neg P\lor Q)\leftrightarrow Q
  1. Conectivo principal \lor (terceiro símbolo). Então
  • Lado esquerdo: “ \neg P”.
  • Lado direito: “ Q\leftrightarrow Q”.
    Fórmula:
(\neg P\lor (Q\leftrightarrow Q))

Passo 4

Fórmulas em que a negação é o conectivo mais externo
  1. Dentro de \neg(\;), o principal é \leftrightarrow (quinto símbolo). Então
  • Lado esquerdo: “ (P\lor Q)”.
  • Lado direito: Q.
    Fórmula:
\neg\bigl((P\lor Q)\leftrightarrow Q\bigr)
  1. Dentro de \neg(\;), o principal é \lor (terceiro símbolo). Então
  • Lado esquerdo: P.
  • Lado direito: “ (Q\leftrightarrow Q)”.
    Fórmula:
\neg\bigl(P\lor (Q\leftrightarrow Q)\bigr)

Resposta

(\neg P\lor Q)\leftrightarrow Q (\neg P\lor (Q\leftrightarrow Q)) \neg\bigl((P\lor Q)\leftrightarrow Q\bigr) \neg\bigl(P\lor (Q\leftrightarrow Q)\bigr)

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