Elimine o maior número possível de símbolos de pontuação das fórmulas a seguir,mantendo a representação da fórmula original.
(\neg \mathrm{P} \rightarrow(\mathrm{Q} \vee \mathrm{R})) \leftrightarrow((\mathrm{P} \wedge \mathrm{Q}) \leftrightarrow(\neg \neg \mathrm{R} \vee \neg \mathrm{P}))

Passo 1

O enunciado pede para eliminar o máximo de parênteses da fórmula
(\neg P \rightarrow (Q \vee R)) \leftrightarrow \bigl((P \wedge Q)\leftrightarrow(\neg\neg R\vee\neg P)\bigr)
mantendo a mesma estrutura lógica. Vamos usar as regras de precedência e associatividade dos conectivos lógicos.

Passo 2

As regras de precedência são
\neg\;>\;\wedge\;>\;\vee\;>\;\rightarrow\;>\;\leftrightarrow
Logo em \neg P \rightarrow (Q \vee R) o conectivo \vee tem maior precedência que \rightarrow, permitindo remover os parênteses em torno de Q\vee R. De modo semelhante, em (P\wedge Q)\leftrightarrow(\neg\neg R\vee\neg P) podemos retirar os parênteses de P\wedge Q e de \neg\neg R\vee\neg P.

Passo 3

Após remover esses parênteses internos, ficamos com
(\neg P \rightarrow Q \vee R)\;\leftrightarrow\;(P \wedge Q \leftrightarrow \neg\neg R \vee \neg P)
Agora só restam parênteses em torno de cada bicondicional.

Passo 4

O bicondicional \leftrightarrow é associativo, ou seja
(A\leftrightarrow B)\leftrightarrow C \quad\text{é equivalente a}\quad A\leftrightarrow(B\leftrightarrow C)é
Portanto podemos retirar todos os parênteses finais, obtendo
\neg P \rightarrow Q \vee R \leftrightarrow P \wedge Q \leftrightarrow \neg\neg R \vee \neg P

Resposta

\neg P \rightarrow Q \vee R \leftrightarrow P \wedge Q \leftrightarrow \neg\neg R \vee \neg P

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