Considere um conjunto de 10 variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas (i.i.d.) seguindo a distribuição
. Sabendo que
e
representam, respectivamente, o mínimo e o máximo dessa amostra, determine:
A função de distribuição acumulada e a função densidade de probabilidade do máximo.
A função de distribuição acumulada e a função densidade de probabilidade do máximo.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas sobre a variável aleatória
:
- Determinar a função de distribuição acumulada (CDF) de
. - Determinar a função densidade de probabilidade (PDF) de
.
Informações dadas e relevantes:
- Há
variáveis aleatórias i.i.d. - Cada
tem distribuição . -
. - As
são independentes (essa informação permite multiplicar probabilidades de eventos sobre diferentes ).
Passo 2
Definição e estratégia para achar a CDF: para qualquer variável aleatória
, a função de distribuição acumulada é
Aplicando isso a
, temos
Agora raciocinamos sobre o evento
: o máximo de uma amostra é menor ou igual a
exatamente quando todas as observações são menores ou iguais a
. Em símbolos,
Essa equivalência é apenas lógica: se alguma
, então o máximo seria
; se todas
, então o máximo é
.
Passo 3
Uso da independência para transformar a probabilidade do evento conjunto em produto:
porque as são independentes,
porque as
Como as
são identicamente distribuídas, cada fator é a mesma função distribuição
da uniform(0,1). Portanto
Passo 4
Agora usamos explicitamente a CDF da distribuição
Substituindo em
, então
e
.
- Se , então
e
- Se
- Se
, então e .
Logo a CDF do máximo é a função peça a peça acima.]
Passo 5
Para obter a densidade, derivamos a CDF onde ela é diferenciável. Em geral, se uma CDF
Portanto a densidade de
é
Observações: podemos escrever o trecho no intervalo incluindo as extremidades em convenção (por exemplo
. Também vale checar que a integral da densidade dá
:
o que confirma que é uma densidade válida.]
Passo 6
Intuição e forma geral: o que fizemos tem uma forma geral útil. Para
variáveis i.i.d. com CDF
e densidade
, o máximo
tem CDF
e, quando
é contínua, densidade
No nosso caso
,
e
para
, o que reduz a
. Um exemplo simples para fixar: se
e
, então CDF do máximo é
e densidade
em
.