Considere um conjunto de 10 variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas (i.i.d.) seguindo a distribuição \mathrm{U}(0,1). Sabendo que \mathrm{Y}_{1}=\min \left(\mathrm{X}_{1}, \ldots, \mathrm{X}_{10}\right) e \mathrm{Y}_{10}=\max \left(\mathrm{X}_{1}, \ldots, \mathrm{X}_{10}\right) representam, respectivamente, o mínimo e o máximo dessa amostra, determine:
A função de distribuição acumulada e a função densidade de probabilidade do máximo.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas sobre a variável aleatória \mathrm{Y}_{10}=\max(\mathrm{X}_1,\ldots,\mathrm{X}_{10}):
  • Determinar a função de distribuição acumulada (CDF) de \mathrm{Y}_{10}.
  • Determinar a função densidade de probabilidade (PDF) de \mathrm{Y}_{10}.
Informações dadas e relevantes:
  • 10 variáveis aleatórias i.i.d.
  • Cada \mathrm{X}_i tem distribuição \mathrm{U}(0,1).
  • \mathrm{Y}_{10}=\max(\mathrm{X}_1,\ldots,\mathrm{X}_{10}).
  • As \mathrm{X}_i são independentes (essa informação permite multiplicar probabilidades de eventos sobre diferentes \mathrm{X}_i).

Passo 2

Definição e estratégia para achar a CDF: para qualquer variável aleatória Z, a função de distribuição acumulada é
F_Z(z)=\mathbb{P}(Z\le z).
Aplicando isso a \mathrm{Y}_{10}, temos
F_{\mathrm{Y}_{10}}(y)=\mathbb{P}\big(\mathrm{Y}_{10}\le y\big).
Agora raciocinamos sobre o evento \{\mathrm{Y}_{10}\le y\}: o máximo de uma amostra é menor ou igual a y exatamente quando todas as observações são menores ou iguais a y. Em símbolos,
\{\mathrm{Y}_{10}\le y\}=\bigcap_{i=1}^{10}\{\mathrm{X}_i\le y\}.
Essa equivalência é apenas lógica: se alguma \mathrm{X}_i>y, então o máximo seria >y; se todas \mathrm{X}_i\le y, então o máximo é \le y.

Passo 3

Uso da independência para transformar a probabilidade do evento conjunto em produto:
porque as \mathrm{X}_i são independentes,
\mathbb{P}\Big(\bigcap_{i=1}^{10}\{\mathrm{X}_i\le y\}\Big) =\prod_{i=1}^{10}\mathbb{P}(\mathrm{X}_i\le y).
Como as \mathrm{X}_i são identicamente distribuídas, cada fator é a mesma função distribuição F_X(y) da uniform(0,1). Portanto
F_{\mathrm{Y}_{10}}(y)=\big(F_X(y)\big)^{10}.

Passo 4

Agora usamos explicitamente a CDF da distribuição \mathrm{U}(0,1)\). Para \(\mathrm{X}\sim\mathrm{U}(0,1)\), \[F_X(y)=\mathbb{P}(\mathrm{X}\le y)= \begin{cases} 0, & y<0,\\[4pt] y, & 0\le y\le 1,\\[4pt] 1, & y>1. \end{cases}
Substituindo em F_{\mathrm{Y}_{10}}(y)=\big(F_X(y)\big)^{10}\] obtemos, peça por peça: - Se \(y<0, então F_X(y)=0 e F_{\mathrm{Y}_{10}}(y)=0^{10}=0.
- Se 0\le y\le 1, então F_X(y)=y e
F_{\mathrm{Y}_{10}}(y)=y^{10}.
  • Se y>1, então F_X(y)=1 e F_{\mathrm{Y}_{10}}(y)=1^{10}=1.
Logo a CDF do máximo é a função peça a peça acima.]

Passo 5

Para obter a densidade, derivamos a CDF onde ela é diferenciável. Em geral, se uma CDF F\) é diferenciável em um ponto, a densidade é \(f=F'\). Aqui a única parte com variação é no intervalo \([0,1]\) onde \(F_{\mathrm{Y}_{10}}(y)=y^{10}\). A derivada de \(y^{10}\) em relação a \(y\) é obtida pela regra do poder: \[\frac{d}{dy}\big(y^{10}\big)=10\,y^{9}.
Portanto a densidade de \mathrm{Y}_{10} é
f_{\mathrm{Y}_{10}}(y)= \begin{cases} 10\,y^{9}, & 0<y<1,\\[4pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á
Observações: podemos escrever o trecho no intervalo incluindo as extremidades em convenção (por exemplo 0\le y\le1\]), mas em densidades pontuais no limite não faz diferença prática; o importante é que a massa está totalmente no intervalo \([0,1]. Também vale checar que a integral da densidade dá 1:
\int_{0}^{1}10\,y^{9}\,dy=10\cdot\frac{1}{10}=1,
o que confirma que é uma densidade válida.]

Passo 6

Intuição e forma geral: o que fizemos tem uma forma geral útil. Para n variáveis i.i.d. com CDF F_X e densidade f_X, o máximo Y_{(n)} tem CDF \big(F_X(y)\big)^n e, quando X é contínua, densidade
f_{Y_{(n)}}(y)=n\big(F_X(y)\big)^{n-1} f_X(y).
No nosso caso n=10, F_X(y)=y e f_X(y)=1 para y\in(0,1), o que reduz a f_{Y_{10}}(y)=10y^{9}. Um exemplo simples para fixar: se n=2 e X\sim\mathrm{U}(0,1), então CDF do máximo é y^{2} e densidade 2y em [0,1].

Resposta

F_{\mathrm{Y}_{10}}(y)= \begin{cases} 0, & y<0,\\[4pt] y^{10}, & 0\le y\le 1,\\[4pt] 1, & y>1, \end{cases}
f_{\mathrm{Y}_{10}}(y)= \begin{cases} 10\,y^{9}, & 0<y<1,\\[4pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á]

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