Sejam
variáveis aleatórias contínuas independentes e exponencialmente distribuídas com parâmetros
, para
.
a) Determine as funções de distribuição acumulada do mínimo e do máximo;
b) Determine as funções densidade de probabilidade do mínimo e do máximo.
a) Determine as funções de distribuição acumulada do mínimo e do máximo;
b) Determine as funções densidade de probabilidade do mínimo e do máximo.
Passo 1
O enunciado dá cinco variáveis aleatórias contínuas independentes
, cada uma com distribuição exponencial e parâmetro
(para
). Pede:
- As funções de distribuição acumulada (CDF) do mínimo e do máximo dessas cinco variáveis.
- As funções densidade de probabilidade (PDF) do mínimo e do máximo dessas cinco variáveis.
Informações relevantes dadas:
- Cada
é contínua e tem distribuição exponencial com parâmetro . - As variáveis são independentes.
- Para a exponencial com parâmetro
sabemos (usaremos isso) que, para ,
- A pergunta refere-se ao mínimo
e ao máximo .
Passo 2
Defino claramente as variáveis que vou estudar e o que vou calcular:
- Seja
. - Seja
.
Vou primeiro obter as CDFs
e
, e depois derivar para obter as PDFs
e
. Vou usar a independência e as fórmulas padrão de exponencial citadas no Passo 1.
Passo 3
CDF do mínimo
. Raciocínio passo a passo:
- Por definição,
significa que pelo menos uma das é . O complemento é , que equivale a todas as serem . - Assim
- Pela independência, a probabilidade conjunta é o produto das probabilidades marginais:
- Para cada exponencial
temos para . Logo, para ,
- Portanto, para
,
- Para
temos porque as variáveis exponenciais são suportadas em .
Observação didática curta: isso mostra que o mínimo de exponenciais independentes é também exponencial, com parâmetro
.
Passo 4
PDF do mínimo
. Agora derivamos a CDF obtida:
- Para
, com . - Lembrando que
, então
- Substituindo
, obtemos, para ,
- Para
temos .
Exemplo rápido para fixar: se houvesse só duas exponenciais com parâmetros
, o mínimo teria PDF
para
.
Passo 5
CDF do máximo
. Raciocínio passo a passo:
- Por definição,
significa que todas as são . - Assim
- Pela independência, isso é o produto das CDFs marginais:
- Para exponenciais, para
temos . Logo, para ,
- Para
temos .
Observação didática: a CDF do máximo é o produto das CDFs individuais porque o evento “máximo ≤ z” exige que cada variável esteja ≤ z. Note que esta expressão não é, em geral, uma exponencial simples — é um produto de termos.
Passo 6
PDF do máximo
. Vou derivar a CDF produto para obter a PDF:
- Temos, para
,
- A derivada de um produto de funções é dada pela regra do produto generalizada: a derivada é a soma sobre
de (derivada do fator ) vezes (produto dos demais fatores). - Para cada
,
(Aqui usamos que
, e o sinal menos do termo original resulta em
.)
- Aplicando a regra do produto,
- Substituindo
e obtemos, para ,
- Para
temos .
Pequena verificação com
variáveis para entender: se fossem só
, teríamos
que é exatamente o caso da regra do produto.
Passo 7
Resumo interpretativo e checagens rápidas:
- O mínimo
é exponencial com parâmetro . Isso é intuitivo: quanto maiores os (taxas), mais cedo tende a ocorrer um valor pequeno, então o mínimo tem maior taxa. - O máximo
tem CDF produto e PDF dada pela soma de termos onde cada termo corresponde à contribuição de uma variável sendo a “aquela que domina” localmente. Não simplifica para uma exponencial em geral. - Em casos particulares (por exemplo todos
) a fórmula do máximo pode ser simplificada usando binômio/inclusão-exclusão; por exemplo, se todos iguais, e a PDF é .