Sejam X_{1}, X_{2}, X_{3}, X_{4}, X_{5} variáveis aleatórias contínuas independentes e exponencialmente distribuídas com parâmetros \lambda_{i}, para i=1,2,3,4,5.
a) Determine as funções de distribuição acumulada do mínimo e do máximo;
b) Determine as funções densidade de probabilidade do mínimo e do máximo.

Passo 1

O enunciado dá cinco variáveis aleatórias contínuas independentes X_{1},X_{2},X_{3},X_{4},X_{5}, cada uma com distribuição exponencial e parâmetro \lambda_{i} (para i=1,\dots,5). Pede:
  1. As funções de distribuição acumulada (CDF) do mínimo e do máximo dessas cinco variáveis.
  2. As funções densidade de probabilidade (PDF) do mínimo e do máximo dessas cinco variáveis.
Informações relevantes dadas:
  • Cada X_{i} é contínua e tem distribuição exponencial com parâmetro \lambda_{i}.
  • As variáveis são independentes.
  • Para a exponencial com parâmetro \lambda sabemos (usaremos isso) que, para t\ge 0,
F_{X}(t)=P(X\le t)=1-e^{-\lambda t},\qquad S_X(t)=P(X>t)=e^{-\lambda t}.
  • A pergunta refere-se ao mínimo Y=\min\{X_{1},\dots,X_{5}\} e ao máximo Z=\max\{X_{1},\dots,X_{5}\}.

Passo 2

Defino claramente as variáveis que vou estudar e o que vou calcular:
  • Seja Y=\min\{X_{1},X_{2},X_{3},X_{4},X_{5}\}.
  • Seja Z=\max\{X_{1},X_{2},X_{3},X_{4},X_{5}\}.
Vou primeiro obter as CDFs F_{Y}(y)=P(Y\le y) e F_{Z}(z)=P(Z\le z), e depois derivar para obter as PDFs f_{Y} e f_{Z}. Vou usar a independência e as fórmulas padrão de exponencial citadas no Passo 1.

Passo 3

CDF do mínimo Y. Raciocínio passo a passo:
  • Por definição, Y\le y significa que pelo menos uma das X_{i} é \le y. O complemento é Y>y, que equivale a todas as X_{i} serem >y.
  • Assim
F_{Y}(y)=P(Y\le y)=1-P(Y>y)=1-P(X_{1}>y,\dots,X_{5}>y).
  • Pela independência, a probabilidade conjunta é o produto das probabilidades marginais:
P(X_{1}>y,\dots,X_{5}>y)=\prod_{i=1}^{5}P(X_{i}>y)=\prod_{i=1}^{5}S_{X_i}(y).
  • Para cada exponencial X_{i} temos S_{X_i}(y)=e^{-\lambda_{i} y} para y\ge 0. Logo, para y\ge 0,
\prod_{i=1}^{5}S_{X_i}(y)=\prod_{i=1}^{5} e^{-\lambda_{i} y}=e^{-y\sum_{i=1}^{5}\lambda_{i}}.
  • Portanto, para y\ge 0,
F_{Y}(y)=1-e^{-y\sum_{i=1}^{5}\lambda_{i}}.
  • Para y<0 temos F_{Y}(y)=0 porque as variáveis exponenciais são suportadas em [0,\infty).
Observação didática curta: isso mostra que o mínimo de exponenciais independentes é também exponencial, com parâmetro \sum_{i=1}^{5}\lambda_{i}.

Passo 4

PDF do mínimo Y. Agora derivamos a CDF obtida:
  • Para y\ge 0, F_{Y}(y)=1-e^{-ay} com a=\sum_{i=1}^{5}\lambda_{i}.
  • Lembrando que \dfrac{d}{dy}e^{-ay}=-a e^{-ay}, então
f_{Y}(y)=\frac{d}{dy}F_{Y}(y)=\frac{d}{dy}\bigl(1-e^{-ay}\bigr)=a e^{-ay}.
  • Substituindo a=\sum_{i=1}^{5}\lambda_{i}, obtemos, para y\ge 0,
f_{Y}(y)=\Bigl(\sum_{i=1}^{5}\lambda_{i}\Bigr)e^{-y\sum_{i=1}^{5}\lambda_{i}}.
  • Para y<0 temos f_{Y}(y)=0.
Exemplo rápido para fixar: se houvesse só duas exponenciais com parâmetros \lambda_1,\lambda_2, o mínimo teria PDF (\lambda_1+\lambda_2)e^{-y(\lambda_1+\lambda_2)} para y\ge0.

Passo 5

CDF do máximo Z. Raciocínio passo a passo:
  • Por definição, Z\le z significa que todas as X_{i} são \le z.
  • Assim
F_{Z}(z)=P(Z\le z)=P(X_{1}\le z,\dots,X_{5}\le z).
  • Pela independência, isso é o produto das CDFs marginais:
F_{Z}(z)=\prod_{i=1}^{5}P(X_{i}\le z)=\prod_{i=1}^{5}F_{X_i}(z).
  • Para exponenciais, para z\ge 0 temos F_{X_i}(z)=1-e^{-\lambda_{i} z}. Logo, para z\ge 0,
F_{Z}(z)=\prod_{i=1}^{5}\bigl(1-e^{-\lambda_{i} z}\bigr).
  • Para z<0 temos F_{Z}(z)=0.
Observação didática: a CDF do máximo é o produto das CDFs individuais porque o evento “máximo ≤ z” exige que cada variável esteja ≤ z. Note que esta expressão não é, em geral, uma exponencial simples — é um produto de termos.

Passo 6

PDF do máximo Z. Vou derivar a CDF produto para obter a PDF:
  • Temos, para z\ge 0,
F_{Z}(z)=\prod_{i=1}^{5}g_{i}(z),\qquad\text{onde }g_{i}(z)=1-e^{-\lambda_{i} z}.
  • A derivada de um produto de funções é dada pela regra do produto generalizada: a derivada é a soma sobre j de (derivada do fator j) vezes (produto dos demais fatores).
  • Para cada g_{j}(z),
g_{j}'(z)=\frac{d}{dz}\bigl(1-e^{-\lambda_{j} z}\bigr)=\lambda_{j}e^{-\lambda_{j} z}.
(Aqui usamos que \dfrac{d}{dz}e^{-\lambda_j z}=-\lambda_j e^{-\lambda_j z}, e o sinal menos do termo original resulta em +\lambda_j e^{-\lambda_j z}.)
  • Aplicando a regra do produto,
f_{Z}(z)=\frac{d}{dz}F_{Z}(z)=\sum_{j=1}^{5}\Bigl(g_{j}'(z)\prod_{\substack{i=1\\\ i\neq j}}^{5} g_{i}(z)\Bigr).
  • Substituindo g_{i} e g_{j}' obtemos, para z\ge 0,
f_{Z}(z)=\sum_{j=1}^{5}\Bigl(\lambda_{j} e^{-\lambda_{j} z}\prod_{\substack{i=1\\\ i\neq j}}^{5}\bigl(1-e^{-\lambda_{i} z}\bigr)\Bigr).
  • Para z<0 temos f_{Z}(z)=0.
Pequena verificação com 2 variáveis para entender: se fossem só X_{1},X_{2}, teríamos
f_{Z}(z)=\lambda_{1}e^{-\lambda_{1}z}\bigl(1-e^{-\lambda_{2}z}\bigr)+\lambda_{2}e^{-\lambda_{2}z}\bigl(1-e^{-\lambda_{1}z}\bigr),
que é exatamente o caso da regra do produto.

Passo 7

Resumo interpretativo e checagens rápidas:
  • O mínimo Y é exponencial com parâmetro \sum_{i=1}^{5}\lambda_{i}. Isso é intuitivo: quanto maiores os \lambda_{i} (taxas), mais cedo tende a ocorrer um valor pequeno, então o mínimo tem maior taxa.
  • O máximo Z tem CDF produto e PDF dada pela soma de termos onde cada termo corresponde à contribuição de uma variável sendo a “aquela que domina” localmente. Não simplifica para uma exponencial em geral.
  • Em casos particulares (por exemplo todos \lambda_{i}=\lambda) a fórmula do máximo pode ser simplificada usando binômio/inclusão-exclusão; por exemplo, se todos iguais, F_Z(z)=(1-e^{-\lambda z})^{5} e a PDF é 5\lambda e^{-\lambda z}(1-e^{-\lambda z})^{4}.

Resposta

F_{Y}(y)=\begin{cases} 0, & y<0,\\[4pt] 1-e^{-y\sum_{i=1}^{5}\lambda_{i}}, & y\ge 0, \end{cases}
f_{Y}(y)=\begin{cases} 0, & y<0,\\[4pt] \Bigl(\sum_{i=1}^{5}\lambda_{i}\Bigr)e^{-y\sum_{i=1}^{5}\lambda_{i}}, & y\ge 0, \end{cases}
F_{Z}(z)=\begin{cases} 0, & z<0,\\[4pt] \displaystyle\prod_{i=1}^{5}\bigl(1-e^{-\lambda_{i} z}\bigr), & z\ge 0, \end{cases}
f_{Z}(z)=\begin{cases} 0, & z<0,\\[6pt] \displaystyle\sum_{j=1}^{5}\Bigl(\lambda_{j} e^{-\lambda_{j} z}\prod_{\substack{i=1\\\ i\neq j}}^{5}\bigl(1-e^{-\lambda_{i} z}\bigr)\Bigr), & z\ge 0. \end{cases}]

Exercícios relacionados