Considere o conjunto B em cada item e escreva os vetores u e v do espaço vetorial E como combinação linear dos vetores de B se possível.
B=\{(1,1,0,1),(0,0,1,1),(0,0,1,0),(1,0,1,0)\} \quad E=\mathbb{R}^{4} \quad u=(2,-1,0,3) e v=(0,0,2,-1)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os vetores
u=(2,-1,0,3)\quad\text{e}\quad v=(0,0,2,-1)
podem ser escritos como combinação linear dos vetores de
B=\{b_{1},b_{2},b_{3},b_{4}\}
em \mathbb{R}^{4}, onde
b_{1}=(1,1,0,1),\quad b_{2}=(0,0,1,1),\quad b_{3}=(0,0,1,0),\quad b_{4}=(1,0,1,0).
Para isso, vamos supor
\alpha_{1}b_{1}+\alpha_{2}b_{2}+\alpha_{3}b_{3}+\alpha_{4}b_{4}=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})
e igualar a (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) a u ou a v, gerando sistemas lineares em \alpha_{i}.

Passo 2

Escrevendo a combinação genérica \alpha_{1}b_{1}+\alpha_{2}b_{2}+\alpha_{3}b_{3}+\alpha_{4}b_{4}=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}), obtemos coordenada a coordenada:
\begin{cases} \alpha_{1}+\alpha_{4} = x_{1},\\\ \alpha_{1} = x_{2},\\\ \alpha_{2}+\alpha_{3}+\alpha_{4} = x_{3},\\\ \alpha_{1}+\alpha_{2} = x_{4}. \end{cases}

Passo 3

Aplicando a este sistema o vetor u=(2,-1,0,3)\), temos \[\begin{cases} \alpha_{1}+\alpha_{4} = 2,\\\ \alpha_{1} = -1,\\\ \alpha_{2}+\alpha_{3}+\alpha_{4} = 0,\\\ \alpha_{1}+\alpha_{2} = 3. \end{cases}
De \alpha_{1}=-1\] e \(\alpha_{1}+\alpha_{2}=3 segue \alpha_{2}=4.
De \alpha_{1}+\alpha_{4}=2 segue \alpha_{4}=3.
Finalmente, \alpha_{2}+\alpha_{3}+\alpha_{4}=0 \alpha_{3}=-7.

Passo 4

Agora para v=(0,0,2,-1)\) o sistema fica \[\begin{cases} \alpha_{1}+\alpha_{4} = 0,\\\ \alpha_{1} = 0,\\\ \alpha_{2}+\alpha_{3}+\alpha_{4} = 2,\\\ \alpha_{1}+\alpha_{2} = -1. \end{cases}
De \alpha_{1}=0\] e \(\alpha_{1}+\alpha_{4}=0 segue \alpha_{4}=0.
De \alpha_{1}+\alpha_{2}=-1 segue \alpha_{2}=-1.
E de \alpha_{2}+\alpha_{3}+\alpha_{4}=2 obtemos \alpha_{3}=3.

Resposta

u = -1\,b_{1} + 4\,b_{2} - 7\,b_{3} + 3\,b_{4}
v = -1\,b_{2} + 3\,b_{3}

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