Considere o conjunto B em cada item e escreva os vetores u e v do espaço vetorial E como combinação linear dos vetores de B se possível. B=\{(1,1,0,1),(0,0,1,1),(0,0,1,0),(1,0,1,0)\} \quad E=\mathbb{R}^{4} \quad u=(2,-1,0,3) e v=(0,0,2,-1)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se os vetores
u=(2,-1,0,3)\quad\text{e}\quad v=(0,0,2,-1)
podem ser escritos como combinação linear dos vetores de
e igualar a (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) a u ou a v, gerando sistemas lineares em \alpha_{i}.
Passo 2
Escrevendo a combinação genérica \alpha_{1}b_{1}+\alpha_{2}b_{2}+\alpha_{3}b_{3}+\alpha_{4}b_{4}=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}), obtemos coordenada a coordenada:
Aplicando a este sistema o vetor u=(2,-1,0,3)\), temos
\[\begin{cases} \alpha_{1}+\alpha_{4} = 2,\\\ \alpha_{1} = -1,\\\ \alpha_{2}+\alpha_{3}+\alpha_{4} = 0,\\\ \alpha_{1}+\alpha_{2} = 3. \end{cases}
De \alpha_{1}=-1\] e \(\alpha_{1}+\alpha_{2}=3 segue \alpha_{2}=4.
De \alpha_{1}+\alpha_{4}=2 segue \alpha_{4}=3.
Finalmente, \alpha_{2}+\alpha_{3}+\alpha_{4}=0 dá \alpha_{3}=-7.
Passo 4
Agora para v=(0,0,2,-1)\) o sistema fica
\[\begin{cases} \alpha_{1}+\alpha_{4} = 0,\\\ \alpha_{1} = 0,\\\ \alpha_{2}+\alpha_{3}+\alpha_{4} = 2,\\\ \alpha_{1}+\alpha_{2} = -1. \end{cases}
De \alpha_{1}=0\] e \(\alpha_{1}+\alpha_{4}=0 segue \alpha_{4}=0.
De \alpha_{1}+\alpha_{2}=-1 segue \alpha_{2}=-1.
E de \alpha_{2}+\alpha_{3}+\alpha_{4}=2 obtemos \alpha_{3}=3.
Resposta
u = -1\,b_{1} + 4\,b_{2} - 7\,b_{3} + 3\,b_{4}
v = -1\,b_{2} + 3\,b_{3}