Considere o conjunto B em cada item e escreva os vetores u e v do espaço vetorial E como combinação linear dos vetores de B se possível.
B=\{(2,1),(0,3)\} \quad E=\mathbb{R}^{2} \quad u=(-2,1) e v=(1,1)

Passo 1

O enunciado dá o conjunto de vetores B = \{(2,1),\,(0,3)\} em E = \mathbb{R}^2 e pede para expressar os vetores u = (-2,1) e v = (1,1) como combinação linear dos vetores de B, se possível. Vamos, em cada caso, assumir coeficientes desconhecidos e resolver o sistema resultante.

Passo 2

Para u\), suponha que existam \(\alpha,\beta\in\mathbb{R}\) tais que \[\alpha\,(2,1) + \beta\,(0,3) = (-2,1).
Isso gera o sistema
\begin{cases} 2\alpha + 0\beta = -2,\\\ \alpha + 3\beta = 1. \end{cases}
Da primeira equação vem (\alpha = -1]. Substituindo na segunda:
-1 + 3\beta = 1 \quad\Longrightarrow\quad 3\beta = 2 \quad\Longrightarrow\quad \beta = \tfrac{2}{3}.
Portanto,
u = -1\,(2,1) \;+\;\tfrac{2}{3}\,(0,3).

Passo 3

Para v\), suponha que existam \(\gamma,\delta\in\mathbb{R}\) tais que \[\gamma\,(2,1) + \delta\,(0,3) = (1,1).
Isso gera o sistema
\begin{cases} 2\gamma + 0\delta = 1,\\\ \gamma + 3\delta = 1. \end{cases}
Da primeira equação vem (\gamma = \tfrac12]. Substituindo na segunda:
\tfrac12 + 3\delta = 1 \quad\Longrightarrow\quad 3\delta = \tfrac12 \quad\Longrightarrow\quad \delta = \tfrac{1}{6}.
Logo,
v = \tfrac12\,(2,1) \;+\;\tfrac{1}{6}\,(0,3).

Resposta

u = -1\,(2,1) + \tfrac{2}{3}\,(0,3)
v = \tfrac12\,(2,1) + \tfrac{1}{6}\,(0,3)

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