Considere o conjunto B em cada item e escreva os vetores u e v do espaço vetorial E como combinação linear dos vetores de B se possível.
B=\left\{x^{2}+1, x+2,-2\right\} \quad E=P_{2}(\mathbb{R}) \quad u=2 x^{2}+x-1 e v=x^{2}+5 x

Passo 1

O enunciado pede para expressar os polinômios
u = 2x^2 + x - 1 \quad\text{e}\quad v = x^2 + 5x
como combinação linear dos vetores de
B = \{\,x^2+1,\;x+2,\;-2\}
no espaço vetorial P_2(\mathbb{R}).
Para isso, vamos assumir
a(x^2+1) + b(x+2) + c(-2)
e igualar coeficientes com u e depois com v.

Passo 2

Expressão para u\): \[a(x^2+1) + b(x+2) + c(-2) = a x^2 + b x + \bigl(a + 2b - 2c\bigr).
Comparando com u = 2x^2 + x -1, obtemos o sistema
\begin{cases} a = 2,\\\ b = 1,\\\ a + 2b - 2c = -1. \end{cases}
Substituindo a=2\] e \(b=1 na terceira equação:
2 + 2\cdot1 - 2c = -1 \;\Longrightarrow\; 4 - 2c = -1 \;\Longrightarrow\; c = \tfrac{5}{2}.

Passo 3

Expressão para v\): \[a(x^2+1) + b(x+2) + c(-2) = a x^2 + b x + \bigl(a + 2b - 2c\bigr).
Comparando com v = x^2 + 5x + 0, obtemos
\begin{cases} a = 1,\\\ b = 5,\\\ a + 2b - 2c = 0. \end{cases}
Substituindo a=1\] e \(b=5:
1 + 2\cdot5 - 2c = 0 \;\Longrightarrow\; 11 - 2c = 0 \;\Longrightarrow\; c = \tfrac{11}{2}.

Resposta

u = 2(x^2+1) + 1(x+2) + \tfrac{5}{2}(-2)
v = 1(x^2+1) + 5(x+2) + \tfrac{11}{2}(-2)

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