Considere o conjunto B em cada item e escreva os vetores u e v do espaço vetorial E como combinação linear dos vetores de B se possível.
B=\left\{3 x^{2}, x-2,3\right\} \quad E=P_{2}(\mathbb{R}) \quad u=2 x^{2}+x-1 e v=x^{2}+5 x

Passo 1

O enunciado dá o conjunto B=\{3x^{2},\,x-2,\,3\} em E=P_{2}(\mathbb{R}) e pede para escrever os polinômios
u=2x^{2}+x-1, \quad v=x^{2}+5x
como combinação linear dos vetores de B. Vamos introduzir coeficientes a,b,c\in\mathbb{R} tais que
a\bigl(3x^{2}\bigr)+b\bigl(x-2\bigr)+c\bigl(3\bigr)
iguale o polinômio dado, e então resolver o sistema que surge ao igualar coeficientes de x^{2},x e termo constante.

Passo 2

Seja um polinômio genérico
p(x)=a\bigl(3x^{2}\bigr)+b\bigl(x-2\bigr)+c\bigl(3\bigr).
Expandindo, obtemos
p(x)=(3a)x^{2}+(b)x+(-2b+3c).
Para que p(x) coincida com um polinômio alvo Ax^{2}+Bx+C, devemos ter o sistema
\begin{cases} 3a = A,\\\ b = B,\\\\ -2b + 3c = C. \end{cases}

Passo 3

Aplicando ao polinômio u=2x^{2}+x-1\), compare com \(Ax^{2}+Bx+C\) onde \(A=2\), \(B=1\), \(C=-1\). O sistema é \[\begin{cases} 3a = 2,\\\ b = 1,\\\\ -2\cdot1 + 3c = -1. \end{cases}
Da primeira equação a=\tfrac{2}{3}\]. Da segunda \(b=1. Da terceira
-2 + 3c = -1 \implies 3c = 1 \implies c = \tfrac{1}{3}.
Logo
u = \tfrac{2}{3}\,(3x^{2}) + 1\,(x-2) + \tfrac{1}{3}\,(3).

Passo 4

Agora para v=x^{2}+5x\), temos \(A=1\), \(B=5\), \(C=0\). O sistema fica \[\begin{cases} 3a = 1,\\\ b = 5,\\\\ -2\cdot5 + 3c = 0. \end{cases}
Da primeira equação a=\tfrac{1}{3}\]. Da segunda \(b=5. Da terceira
-10 + 3c = 0 \implies 3c = 10 \implies c = \tfrac{10}{3}.
Portanto
v = \tfrac{1}{3}\,(3x^{2}) + 5\,(x-2) + \tfrac{10}{3}\,(3).

Resposta

u = \tfrac{2}{3}\,(3x^{2}) + 1\,(x-2) + \tfrac{1}{3}\,(3) v = \tfrac{1}{3}\,(3x^{2}) + 5\,(x-2) + \tfrac{10}{3}\,(3)

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