Considere o conjunto B em cada item e escreva os vetores u e v do espaço vetorial E como combinação linear dos vetores de B se possível.
B=\left\{2 x^{2}, x^{2}+1,-2\right\} \quad E=P_{2}(\mathbb{R}) \quad u=x^{2}+x-1 e v=x^{2}+3

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
B = \{\,2x^{2},\;x^{2}+1,\;-2\}
no espaço vetorial E = P_{2}(\mathbb{R}), e pede para escrever
u = x^{2}+x-1 \quad\text{e}\quad v = x^{2}+3
como combinação linear dos vetores de B, se possível.

Passo 2

Note que uma combinação genérica
\alpha\,(2x^{2}) \;+\;\beta\,(x^{2}+1)\;+\;\gamma\,(-2)
é o polinômio
(2\alpha+\beta)\,x^{2} \;+\;0\cdot x \;+\;(\beta -2\gamma).
Ou seja, o coeficiente de x em qualquer combinação é sempre zero.

Passo 3

Para u = x^{2}+x-1 o coeficiente de x é 1\neq 0. Como nenhuma combinação em B produz termo em x, não é possível escrever u como combinação linear de B.

Passo 4

Para v = x^{2}+3 não há termo em x, então podemos tentar
\alpha\,(2x^{2}) + \beta\,(x^{2}+1) + \gamma\,(-2) \;=\; x^{2}+3.
Isso leva ao sistema de coeficientes:
\begin{cases} 2\alpha + \beta = 1,\\\ \beta - 2\gamma = 3. \end{cases}

Passo 5

O sistema tem infinitas soluções. Um exemplo simples é tomar \gamma=0. Então \beta=3 e
2\alpha + 3 =1 \;\Longrightarrow\; \alpha = -1.
Logo uma combinação válida é
v = -1\cdot(2x^{2}) \;+\; 3\cdot(x^{2}+1) \;+\; 0\cdot(-2).

Resposta

Para u=x^{2}+x-1: não é possível representar como combinação linear de B.
Para v=x^{2}+3:
v = -1\,(2x^{2}) \;+\;3\,(x^{2}+1).

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