Considere o conjunto B em cada item e escreva os vetores u e v do espaço vetorial E como combinação linear dos vetores de B se possível. B=\left\{\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 0 & 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 0 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}1 & -1 \\\\ 2 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right)\right\} \quad E=M_{2}(\mathbb{R}) \quad u=\left(\begin{array}{cc}2 & 0 \\\\ 1 & -1\end{array}\right) e v=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 0\end{array}\right)
Passo 1
O enunciado pede para verificar, no espaço vetorial E=M_{2}(\mathbb{R}), se os vetores
Resolvendo o sistema para u:
Da terceira equação vem c_{3}=\tfrac12.
Da segunda, c_{1}+c_{2}=c_{3}=\tfrac12.
Da primeira, \tfrac12 +c_{4}+ \tfrac12 =2 implica c_{4}=1.
Da última, c_{1}+1=-1 dá c_{1}=-2.
Logo c_{2}=\tfrac12 -c_{1}=\tfrac12-(-2)=\tfrac52.
Passo 4
Para v\) fazemos a mesma combinação e igualamos a \(\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix}\), gerando
\[\begin{cases} c_{1}+c_{2}+c_{3}+c_{4}=1,\\\ c_{1}+c_{2}-c_{3}=0,\\\\ 2c_{3}=0,\\\ c_{1}+c_{4}=0. \end{cases}
Da terceira equação c_{3}=0\]. Da segunda \(c_{1}+c_{2}=0. Da quarta c_{1}=-c_{4}. Substituindo na primeira: -c_{4}+c_{2}+0+c_{4}=1 e como c_{2}=-c_{1}=c_{4} tem-se c_{4}=1. Então c_{1}=-1, c_{2}=1, c_{3}=0.
Passo 5
Concluímos que ambos podem ser escritos como combinação linear dos b_i.