Considere o conjunto B em cada item e escreva os vetores u e v do espaço vetorial E como combinação linear dos vetores de B se possível.
B=\left\{\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 0 & 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 0 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}1 & -1 \\\\ 2 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right)\right\} \quad E=M_{2}(\mathbb{R}) \quad u=\left(\begin{array}{cc}2 & 0 \\\\ 1 & -1\end{array}\right) e v=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 0\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para verificar, no espaço vetorial E=M_{2}(\mathbb{R}), se os vetores
u=\begin{pmatrix}2 & 0 \\\\ 1 & -1\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad v=\begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix}
podem ser escritos como combinação linear dos vetores
b_{1}=\begin{pmatrix}1 & 1 \\\\ 0 & 1\end{pmatrix},\quad b_{2}=\begin{pmatrix}1 & 1 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix},\quad b_{3}=\begin{pmatrix}1 & -1 \\\\ 2 & 0\end{pmatrix},\quad b_{4}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{pmatrix}.
Ou seja, queremos encontrar escalares c_{1},c_{2},c_{3},c_{4} tais que
c_{1}b_{1}+c_{2}b_{2}+c_{3}b_{3}+c_{4}b_{4}=u \quad\text{e}\quad c_{1}b_{1}+c_{2}b_{2}+c_{3}b_{3}+c_{4}b_{4}=v.

Passo 2

Para cada caso, igualamos a combinação linear às entradas correspondentes. Por exemplo, para u temos
c_{1}\begin{pmatrix}1&1\\\ 0&1\end{pmatrix} +c_{2}\begin{pmatrix}1&1\\\ 0&0\end{pmatrix} +c_{3}\begin{pmatrix}1&-1\\\ 2&0\end{pmatrix} +c_{4}\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2&0\\\ 1&-1\end{pmatrix}.
Isso gera o sistema obtido ao comparar entradas:
\begin{cases} c_{1}+c_{2}+c_{3}+c_{4}=2,\\\ c_{1}+c_{2}-c_{3}=0,\\\\ 2c_{3}=1,\\\ c_{1}+c_{4}=-1. \end{cases}

Passo 3

Resolvendo o sistema para u:
Da terceira equação vem c_{3}=\tfrac12.
Da segunda, c_{1}+c_{2}=c_{3}=\tfrac12.
Da primeira, \tfrac12 +c_{4}+ \tfrac12 =2 implica c_{4}=1.
Da última, c_{1}+1=-1 c_{1}=-2.
Logo c_{2}=\tfrac12 -c_{1}=\tfrac12-(-2)=\tfrac52.

Passo 4

Para v\) fazemos a mesma combinação e igualamos a \(\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix}\), gerando \[\begin{cases} c_{1}+c_{2}+c_{3}+c_{4}=1,\\\ c_{1}+c_{2}-c_{3}=0,\\\\ 2c_{3}=0,\\\ c_{1}+c_{4}=0. \end{cases}
Da terceira equação c_{3}=0\]. Da segunda \(c_{1}+c_{2}=0. Da quarta c_{1}=-c_{4}. Substituindo na primeira: -c_{4}+c_{2}+0+c_{4}=1 e como c_{2}=-c_{1}=c_{4} tem-se c_{4}=1. Então c_{1}=-1, c_{2}=1, c_{3}=0.

Passo 5

Concluímos que ambos podem ser escritos como combinação linear dos b_i.

Resposta

\displaystyle u=-2\,b_{1}+\tfrac{5}{2}\,b_{2}+\tfrac12\,b_{3}+1\,b_{4} \displaystyle v=-1\,b_{1}+1\,b_{2}+0\,b_{3}+1\,b_{4}

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