Exercício 3. Considere o conjunto V \doteq\left\{\left(x_{1}, x_{2}\right) ; x_{1}, x_{2} \in \mathbb{R}\right\}. Mostre que ( V,+, \cdot ) NÃO é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}, quando munido de cada uma das seguintes operações \oplus \mathrm{e} \odot, justificando as respostas, dadas por:
\left(x_{1}, x_{2}\right) \oplus\left(y_{1}, y_{2}\right) \doteq\left(x_{1}-y_{1}, x_{2}+y_{2}\right) \quad e \quad \lambda \odot\left(x_{1}, x_{2}\right) \doteq\left(\lambda^{2} x_{1}, \lambda^{2} x_{2}\right).

Passo 1

O enunciado define em V=\{(x_{1},x_{2});\,x_{1},x_{2}\in\mathbb{R}\} a “adição”
(x_{1},x_{2})\oplus(y_{1},y_{2})=(\,x_{1}-y_{1}\,,\,x_{2}+y_{2}\,)
e o “produto escalar”
\lambda\odot(x_{1},x_{2})=(\,\lambda^{2}x_{1}\,,\,\lambda^{2}x_{2}\,).
Para ser espaço vetorial, (V,\oplus,\odot) precisaria, entre outras, satisfazer a associatividade da adição:
(u\oplus v)\oplus w = u\oplus(v\oplus w).

Passo 2

Sejam
u=(u_{1},u_{2}),\quad v=(v_{1},v_{2}),\quad w=(w_{1},w_{2}).
Então
u\oplus v = (\,u_{1}-v_{1}\,,\,u_{2}+v_{2}\,)
e
(u\oplus v)\oplus w =\bigl((u_{1}-v_{1})-w_{1}\,,\,(u_{2}+v_{2})+w_{2}\bigr) =(\,u_{1}-v_{1}-w_{1}\,,\,u_{2}+v_{2}+w_{2}\,).
Por outro lado
v\oplus w=(\,v_{1}-w_{1}\,,\,v_{2}+w_{2}\,)
e
u\oplus(v\oplus w) =\bigl(u_{1}-(v_{1}-w_{1})\,,\,u_{2}+(v_{2}+w_{2})\bigr) =(\,u_{1}-v_{1}+w_{1}\,,\,u_{2}+v_{2}+w_{2}\,).
Comparando as primeiras componentes,
u_{1}-v_{1}-w_{1}\;\neq\;u_{1}-v_{1}+w_{1} \quad(\text{em geral})\,,
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(u\oplus v)\oplus w \;\neq\;u\oplus(v\oplus w).

Resposta

(V,\oplus,\odot) não é espaço vetorial sobre \mathbb{R} porque a operação \oplus não é associativa, violando um dos axiomas básicos de espaço vetorial.

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