Considere o conjunto
com as seguintes operações:
e
. Mostre que
não é um espaço vetorial. (Na verdade o único axioma não satisfeito é
, isto é,
para todo
. Logo,
não é uma consequência dos demais axiomas.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que um conjunto específico,
, com certas operações de adição e multiplicação por escalar, não forma um espaço vetorial. A matéria que a gente vai mexer aqui é a de espaços vetoriais, que é uma parte fundamental da álgebra linear. Para resolver isso, vamos precisar entender quais são os axiomas que definem um espaço vetorial e verificar se todas essas regras são cumpridas com as operações dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que está sendo definido. O conjunto
é o conjunto de todos os pares de números reais, tipo
. As operações que nos são dadas são:
- Adição (
): Quando somamos dois vetores e , fazemos . Isso parece normal, né? - Multiplicação por escalar (
): Quando multiplicamos um escalar por um vetor , o resultado é . Olha só, só o primeiro componente é multiplicado pelo escalar e o segundo fica sempre zero!
Passo 3
Agora, para saber se
é um espaço vetorial, a gente precisa verificar se todas as propriedades dos espaços vetoriais são satisfeitas. Há vários axiomas, como a comutatividade da adição, existência do elemento neutro, distribuição da multiplicação por escalar, entre outros. No caso, o enunciado já dá uma pista: o único axioma que não é satisfeito é o Axioma da Multiplicação por 1 (M4), que diz que multiplicar qualquer vetor por 1 deve resultar no próprio vetor, ou seja,
para todo
.
Passo 4
Vamos verificar o Axioma M4 com as operações definidas:
Pegue um vetor qualquer
em
.
Aplicando a multiplicação por 1:
Agora, comparando com o próprio vetor
, vemos que
só será igual a
se y = 0. Mas isso não é verdade para qualquer vetor em
, já que
pode ser qualquer número real. Portanto,
não é igual a
em geral, o que viola o axioma M4.
Resposta
Portanto,
não é um espaço vetorial porque não satisfaz o axioma de que multiplicar um vetor por 1 resulta no pr��prio vetor.