Considere o conjunto
com as seguintes operações:
e
. Mostre que
é um espaço vetorial.
Passo 1
Vamos analisar o problema: temos o conjunto
com duas operações especiais de adição (
) e multiplicação por escalar (
). Precisamos mostrar que
é um espaço vetorial. Para isso, vamos verificar se todas as propriedades necessárias de um espaço vetorial são satisfeitas usando essas operações.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a adição
é comutativa. Ou seja, para quaisquer vetores
e
em
, será que
?
Calculando:
Como a soma é comutativa nos números reais, temos que
. Portanto, a adição
é comutativa.
Passo 3
Agora, vamos verificar a associatividade da adição
. Precisamos ver se para quaisquer
,
.
Calculando:
Como ambos os resultados são iguais, a adição
é associativa.
Passo 4
Vamos identificar o vetor zero em
com a operação
. O vetor zero
deve satisfazer
para todo
.
Assumindo
, temos:
Isso implica que:
Portanto, o vetor zero é
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar o inverso de um vetor
em
com relação à adição
. O inverso
deve satisfazer
, onde
.
Assumindo
, temos:
Isso leva a:
Portanto, o inverso de
é
.
Passo 6
Vamos verificar a compatibilidade da multiplicação por escalar com a adição vetorial. Precisamos mostrar que
para todo escalar
e vetores
.
Calculando o lado esquerdo:
Calculando o lado direito:
Como os dois lados são iguais, a compatibilidade está verificada.
Passo 7
Vamos verificar a distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de vetores. Precisamos mostrar que
.
Isso já foi verificado no Passo 6, onde mostramos que
.
Passo 8
Por fim, vamos verificar a compatibilidade da multiplicação por escalares, ou seja, que
.
Calculando o lado esquerdo:
Calculando o lado direito:
Como os dois lados são iguais, a compatibilidade está confirmada.
Resposta
Sim,
é um espaço vetorial.