Considere o conjunto de vetores \left\{\mathbf{u}_{1}, \mathbf{u}_{2}, \mathbf{u}_{3}\right\}, onde
\mathbf{u}_{1}=(1,-2,0,3), \quad \mathbf{u}_{2}=(1,-1,-1,4), \quad \mathbf{u}_{3}=(1,0,-2,5)
Encontre um sistema linear homogêneo cujas soluções sejam exatamente o subespaço gerado pelos vetores \left\{\mathbf{u}_{1}, \mathbf{u}_{2}, \mathbf{u}_{3}\right\}, isto é, encontre um sistema linear homogêneo cujo espaço solução seja \operatorname{span}\left\{\mathbf{u}_{1}, \mathbf{u}_{2}, \mathbf{u}_{3}\right\}.

Passo 1

O enunciado pede um sistema linear homogêneo A\mathbf{x}=\mathbf{0} cujo espaço de solução seja exatamente o subespaço \operatorname{span}\{\mathbf{u}_{1},\mathbf{u}_{2},\mathbf{u}_{3}\}\subset\mathbb{R}^{4}.
Como temos três vetores em \mathbb{R}^{4} e presumimos que são linearmente independentes, seu span tem dimensão 3. Logo, o espaço solução de um sistema homogêneo de dimensão 3 em \mathbb{R}^{4} é o núcleo de uma única equação linear não-trivial.

Passo 2

Para achar essa única equação, buscamos um vetor normal \mathbf{n}=(a,b,c,d) ortogonal a \mathbf{u}_{1},\mathbf{u}_{2},\mathbf{u}_{3}.
Isso significa resolver o sistema
\begin{cases} \mathbf{n}\cdot \mathbf{u}_{1}=0,\\\ \mathbf{n}\cdot \mathbf{u}_{2}=0,\\\ \mathbf{n}\cdot \mathbf{u}_{3}=0. \end{cases}

Passo 3

Escrevendo cada produto escalar:
\begin{cases} a -2b +3d = 0,\\\ a -b -c +4d = 0,\\\ a \;+\;0\cdot b \;-\;2c +5d = 0. \end{cases}
Subtraindo a primeira equação das segunda e terceira, obtemos a mesma condição
b - c + d = 0.
Então podemos parametrizar
a = 2b - 3d, \quad c = b + d,
escolhendo b=1 e d=0, por exemplo, resulta \mathbf{n}=(2,1,1,0).

Passo 4

O vetor \mathbf{n}=(2,1,1,0) define a equação
2x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0,
cujo núcleo é exatamente o hipersubespaço de dimensão 3 que contém \mathbf{u}_{1},\mathbf{u}_{2},\mathbf{u}_{3}.

Resposta

O sistema homogêneo cuja solução é \operatorname{span}\{\mathbf{u}_{1},\mathbf{u}_{2},\mathbf{u}_{3}\} é
2x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0.

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