Encontre um sistema linear homogêneo cujas soluções sejam exatamente o subespaço gerado pelos vetores \left\{\mathbf{u}_{1}, \mathbf{u}_{2}, \mathbf{u}_{3}\right\}, isto é, encontre um sistema linear homogêneo cujo espaço solução seja \operatorname{span}\left\{\mathbf{u}_{1}, \mathbf{u}_{2}, \mathbf{u}_{3}\right\}.
Passo 1
O enunciado pede um sistema linear homogêneo A\mathbf{x}=\mathbf{0} cujo espaço de solução seja exatamente o subespaço \operatorname{span}\{\mathbf{u}_{1},\mathbf{u}_{2},\mathbf{u}_{3}\}\subset\mathbb{R}^{4}.
Como temos três vetores em \mathbb{R}^{4} e presumimos que são linearmente independentes, seu span tem dimensão 3. Logo, o espaço solução de um sistema homogêneo de dimensão 3 em \mathbb{R}^{4} é o núcleo de uma única equação linear não-trivial.
Passo 2
Para achar essa única equação, buscamos um vetor normal \mathbf{n}=(a,b,c,d) ortogonal a \mathbf{u}_{1},\mathbf{u}_{2},\mathbf{u}_{3}.
Isso significa resolver o sistema