Considere o espaço vetorial P_{2}(\mathbb{R}) de todos os polinômios de grau no máximo 2 com coeficientes reais. Determine quais dos seguintes conjuntos são bases para P_{2}(\mathbb{R}) : \left\{1-2 x-2 x^{2},-2+3 x-x^{2}, 1-x+6 x^{2}\right\},
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto \{\,1-2x-2x^{2},\;-2+3x-x^{2},\;1-x+6x^{2}\}
é base de P_{2}(\mathbb{R}). Como \dim P_{2}(\mathbb{R})=3, basta mostrar que esses três polinômios são linearmente independentes. Para isso, vamos tomar suas coordenadas na base padrão \{1,x,x^{2}\} e calcular o determinante da matriz de coordenadas.
Passo 2
Escrevendo cada polinômio como vetor de coordenadas (a,b,c) em relação a \{1,x,x^{2}\}, temos: