Considere o espaço vetorial P_{2}(\mathbb{R}) de todos os polinômios de grau no máximo 2 com coeficientes reais. Determine quais dos seguintes conjuntos são bases para P_{2}(\mathbb{R}) :
\left\{1-2 x-2 x^{2},-2+3 x-x^{2}, 1-x+6 x^{2}\right\},

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto \{\,1-2x-2x^{2},\;-2+3x-x^{2},\;1-x+6x^{2}\}
é base de P_{2}(\mathbb{R}). Como \dim P_{2}(\mathbb{R})=3, basta mostrar que esses três polinômios são linearmente independentes. Para isso, vamos tomar suas coordenadas na base padrão \{1,x,x^{2}\} e calcular o determinante da matriz de coordenadas.

Passo 2

Escrevendo cada polinômio como vetor de coordenadas (a,b,c) em relação a \{1,x,x^{2}\}, temos:
v_{1} = (1,\,-2,\,-2), \quad v_{2} = (-2,\,3,\,-1), \quad v_{3} = (1,\,-1,\,6).

Passo 3

Formamos a matriz M cujas linhas (ou colunas) são esses vetores e calculamos seu determinante:
M = \begin{pmatrix} 1 & -2 & -2 \\\\ -2 & 3 & -1 \\\\ 1 & -1 & 6 \end{pmatrix}.
\det(M) =1\cdot\bigl(3\cdot6 - (-1)\cdot(-1)\bigr) -(-2)\cdot\bigl((-2)\cdot6 - (-1)\cdot1\bigr) +(-2)\cdot\bigl((-2)\cdot(-1) - 3\cdot1\bigr).
Calculando cada termo:
1\cdot(18 - 1) \;=\;17, \quad -(-2)\cdot(-12+1) \;=\;-22, \quad (-2)\cdot(2-3) \;=\;2.
Logo
\det(M) = 17 - 22 + 2 = -3 \neq 0.

Passo 4

Como \det(M)\neq0, os vetores são linearmente independentes e, sendo três em um espaço de dimensão 3, formam uma base de P_{2}(\mathbb{R}).

Resposta

O conjunto \{1-2x-2x^{2},\,-2+3x-x^{2},\,1-x+6x^{2}\} é uma base de P_{2}(\mathbb{R}).

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