Considere os conjuntos:
  • O conjunto \mathcal{F} das funções reais com domínio os reais, ou seja,
\mathcal{F}=\{f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \text { funções }\}çõ
  • O conjunto \mathcal{P}_{3} das funções polinomiais de grau menor ou igual a 3 com coeficientes reais, ou seja,
\mathcal{P}_{3}=\left\{p(x)=a_{3} x^{3}+a_{2} x^{2}+a_{1} x+a_{0} \mid a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3} \in \mathbb{R}\right\}
Mostre que:
(a) \mathcal{P}_{3} é um subespaço vetorial de \mathcal{F}.
(b) Verifique que \mathcal{B}=\left\{x^{3}, x^{2}, x, 1\right\} é uma base para \mathcal{P}_{3}

Passo 1

O enunciado fornece os dois conjuntos abaixo e pede duas verificações:
  • O conjunto \mathcal{F} das funções reais com domínio \mathbb{R}:
\mathcal{F}=\{f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\text{ funções}\}.çõ
  • O conjunto \mathcal{P}_3 das funções polinomiais de grau menor ou igual a 3:
\mathcal{P}_3=\left\{p(x)=a_3 x^3+a_2 x^2+a_1 x+a_0 \mid a_0,a_1,a_2,a_3\in\mathbb{R}\right\}.
O que devemos mostrar:
(a) Que \mathcal{P}_3 é um subespaço vetorial de \mathcal{F}.
(b) Que \mathcal{B}=\{x^3,x^2,x,1\} é uma base de \mathcal{P}_3.
As informações relevantes: a definição explícita de \mathcal{P}_3 (todos os polinômios com coeficientes reais e grau \le 3) e a lista de candidatos para a base \mathcal{B}. Nada mais é dado.

Passo 2

Primeiro vamos lembrar (com linguagem direta) o que significa “ser um subespaço vetorial” e o que significa “ser uma base” — isto vai orientar o que precisamos provar.
Definições importantes (explicadas):
  • Uma parte W de um espaço vetorial V é um subespaço se e somente se:
    1. W não é vazia (em geral mostramos que contém o vetor zero),
    2. W é fechada sob soma: se u,v\in W então u+v\in W,
    3. W é fechada sob multiplicação por escalar: se c\in\mathbb{R} e u\in W então c\,u\in W.
  • Um conjunto de vetores \mathcal{B} é uma base de um espaço vetorial U quando:
    1. \mathcal{B} gera U (ou seja, \text{span}(\mathcal{B})=U), e
    2. \mathcal{B} é linearmente independente (a única combinação linear que dá o vetor zero é a trivial).
Aqui os “vetores” do espaço são funções de \mathbb{R} em \mathbb{R}. A soma de funções e a multiplicação por escalar são definidas ponto a ponto:
(f+g)(x)=f(x)+g(x),\qquad (c\cdot f)(x)=c\cdot f(x).

Passo 3

Mostrar que \mathcal{P}_3 não é vazia — exibindo o vetor zero.
Definimos a função zero \mathbf{0}:\mathbb{R}\to\mathbb{R} por \mathbf{0}(x)=0 para todo x. Esta função é um polinômio com todos os coeficientes nulos:
\mathbf{0}(x)=0\cdot x^3+0\cdot x^2+0\cdot x+0,
logo \mathbf{0}\in\mathcal{P}_3. Assim \mathcal{P}_3 não é vazia.
Comentário didático: em provas, sempre é bom começar mostrando o zero está no conjunto quando queremos provar que é subespaço.

Passo 4

Fechamento sob soma: pegue dois polinômios quaisquer p,q\in\mathcal{P}_3. Escrevemos seus coeficientes:
p(x)=a_3 x^3+a_2 x^2+a_1 x+a_0,
q(x)=b_3 x^3+b_2 x^2+b_1 x+b_0,
com a_i,b_i\in\mathbb{R}.
Somando ponto a ponto:
(p+q)(x)=\big(a_3+b_3\big)x^3+\big(a_2+b_2\big)x^2+\big(a_1+b_1\big)x+\big(a_0+b_0\big).
Cada coeficiente de p+q é uma soma de reais, portanto é real, e não aparece nenhum termo de grau superior a 3. Logo p+q é também um polinômio de grau \le 3, isto é, p+q\in\mathcal{P}_3.
Explicação extra: isto mostra diretamente a propriedade de fechamento sob soma — a soma de dois polinômios de grau \le 3 continua tendo grau \le 3.

Passo 5

Fechamento sob multiplicação por escalar: seja c\in\mathbb{R} e p\in\mathcal{P}_3 com
p(x)=a_3 x^3+a_2 x^2+a_1 x+a_0.
Multiplicando por c ponto a ponto:
(c\cdot p)(x)=c a_3 x^3 + c a_2 x^2 + c a_1 x + c a_0.
Novamente os coeficientes continuam reais e não aparece grau maior que 3. Portanto c\cdot p\in\mathcal{P}_3.
Comentário: juntando Passo 3, Passo 4 e Passo 5 temos todas as condições para subespaço.

Passo 6

Conclusão da parte (a):
Pelo Passo 3 vimos que \mathcal{P}_3 contém o vetor zero; pelo Passo 4 e Passo 5 mostramos que \mathcal{P}_3 é fechado sob soma e multiplicação por escalar. Assim \mathcal{P}_3 é um subespaço vetorial de \mathcal{F}.
Dica prática para prova: quase todas as vezes que você tem "conjunto de polinômios até grau n" ele é subespaço porque somas e escalares não aumentam o grau além de n.

Passo 7

Agora vamos provar que \mathcal{B}=\{x^3,x^2,x,1\} é base de \mathcal{P}_3. Lembrando que precisamos mostrar:
  1. \mathcal{B} gera \mathcal{P}_3 (span), e
  2. \mathcal{B} é linearmente independente.
Primeiro: geração (span).
Pegue um polinômio arbitrário p\in\mathcal{P}_3,
p(x)=a_3 x^3+a_2 x^2+a_1 x+a_0.
Note que isto é exatamente uma combinação linear das funções em \mathcal{B}:
p(x)=a_3\cdot x^3 + a_2\cdot x^2 + a_1\cdot x + a_0\cdot 1.
Portanto qualquer p está no span de \mathcal{B}. Concluímos que \text{span}(\mathcal{B})=\mathcal{P}_3.
Didática: isto é o passo mais direto — a própria forma geral do polinômio dá os coeficientes da combinação linear.

Passo 8

Agora: independência linear.
Definição prática: \{v_1,\dots,v_k\} é linearmente independente se a única solução dos escalares c_1,\dots,c_k na equação
c_1 v_1 + \cdots + c_k v_k = \mathbf{0}
é c_1=\cdots=c_k=0.
Aplicando isso a \mathcal{B}: suponha que existam escalares c_1,c_2,c_3,c_4\in\mathbb{R} tais que, para todo x,
c_1 x^3 + c_2 x^2 + c_3 x + c_4 \equiv 0.
Isto quer dizer que o polinômio à esquerda é a função zero (polinômio identicamente nulo).
Fato chave (explicado): um polinômio identicamente nulo tem todos os coeficientes nulos; isto é consequência da unicidade da representação polinomial. Uma forma elementar de ver isto é comparar coeficientes: se duas expressões polinomiais são iguais para todo x, então os coeficientes correspondentes dos mesmos graus são iguais. Aplicando isso aqui, obtemos:
c_1=0,\qquad c_2=0,\qquad c_3=0,\qquad c_4=0.
Outra maneira muito prática (se gostar): avaliar em x=0 c_4=0; derivando e avaliando em 0 c_3=0; segunda derivada em 0 c_2=0; terceira derivada em 0 c_1=0. Mas não precisa derivar — comparar coeficientes bastou.
Portanto a única combinação linear que produz a função zero é a combinação trivial, logo \mathcal{B} é linearmente independente.

Passo 9

Conclusão da parte (b):
Como \mathcal{B} gera \mathcal{P}_3 (Passo 7) e é linearmente independente (Passo 8), \mathcal{B} é uma base de \mathcal{P}_3.
Comentário final e incentivo: resumindo, a razão de ser tão simples é que os polinômios têm representação única pelos coeficientes — essa unicidade dá tanto o span quanto a independência de forma direta. Você já tem aí uma ferramenta poderosa para questões semelhantes (por grau diferente, trocar \{x^n,\dots,1\}) — respira fundo, repete esse padrão e a coisa fica tranquila.

Resposta

(a) \mathcal{P}_3 é um subespaço vetorial de \mathcal{F}.\n(b) \mathcal{B}=\{x^3,x^2,x,1\} é uma base de \mathcal{P}_3.

Exercícios relacionados