Considere os conjuntos:
- O conjunto
das funções reais com domínio os reais, ou seja,
- O conjunto
das funções polinomiais de grau menor ou igual a 3 com coeficientes reais, ou seja,
Mostre que:
(a)
é um subespaço vetorial de
.
(b) Verifique que
é uma base para
(a)
(b) Verifique que
Passo 1
O enunciado fornece os dois conjuntos abaixo e pede duas verificações:
- O conjunto
das funções reais com domínio :
- O conjunto
das funções polinomiais de grau menor ou igual a :
O que devemos mostrar:
(a) Que é um subespaço vetorial de
.
(b) Que é uma base de
.
(a) Que
(b) Que
As informações relevantes: a definição explícita de
(todos os polinômios com coeficientes reais e grau
) e a lista de candidatos para a base
. Nada mais é dado.
Passo 2
Primeiro vamos lembrar (com linguagem direta) o que significa “ser um subespaço vetorial” e o que significa “ser uma base” — isto vai orientar o que precisamos provar.
Definições importantes (explicadas):
-
Uma parte
de um espaço vetorial é um subespaço se e somente se: -
não é vazia (em geral mostramos que contém o vetor zero), -
é fechada sob soma: se então , -
é fechada sob multiplicação por escalar: se e então .
-
-
Um conjunto de vetores
é uma base de um espaço vetorial quando: -
gera (ou seja, ), e -
é linearmente independente (a única combinação linear que dá o vetor zero é a trivial).
-
Aqui os “vetores” do espaço são funções de
em
. A soma de funções e a multiplicação por escalar são definidas ponto a ponto:
Passo 3
Mostrar que
não é vazia — exibindo o vetor zero.
Definimos a função zero
por
para todo
. Esta função é um polinômio com todos os coeficientes nulos:
logo
. Assim
não é vazia.
Comentário didático: em provas, sempre é bom começar mostrando o zero está no conjunto quando queremos provar que é subespaço.
Passo 4
Fechamento sob soma: pegue dois polinômios quaisquer
. Escrevemos seus coeficientes:
com
.
Somando ponto a ponto:
Cada coeficiente de
é uma soma de reais, portanto é real, e não aparece nenhum termo de grau superior a
. Logo
é também um polinômio de grau
, isto é,
.
Explicação extra: isto mostra diretamente a propriedade de fechamento sob soma — a soma de dois polinômios de grau
continua tendo grau
.
Passo 5
Fechamento sob multiplicação por escalar: seja
e
com
Multiplicando por
ponto a ponto:
Novamente os coeficientes continuam reais e não aparece grau maior que
. Portanto
.
Comentário: juntando Passo 3, Passo 4 e Passo 5 temos todas as condições para subespaço.
Passo 6
Conclusão da parte (a):
Pelo Passo 3 vimos que
contém o vetor zero; pelo Passo 4 e Passo 5 mostramos que
é fechado sob soma e multiplicação por escalar. Assim
é um subespaço vetorial de
.
Dica prática para prova: quase todas as vezes que você tem "conjunto de polinômios até grau
" ele é subespaço porque somas e escalares não aumentam o grau além de
.
Passo 7
Agora vamos provar que
é base de
. Lembrando que precisamos mostrar:
-
gera (span), e -
é linearmente independente.
Primeiro: geração (span).
Pegue um polinômio arbitrário
,
Note que isto é exatamente uma combinação linear das funções em
:
Portanto qualquer
está no span de
. Concluímos que
.
Didática: isto é o passo mais direto — a própria forma geral do polinômio dá os coeficientes da combinação linear.
Passo 8
Agora: independência linear.
Definição prática:
é linearmente independente se a única solução dos escalares
na equação
é
.
Aplicando isso a
: suponha que existam escalares
tais que, para todo
,
Isto quer dizer que o polinômio à esquerda é a função zero (polinômio identicamente nulo).
Fato chave (explicado): um polinômio identicamente nulo tem todos os coeficientes nulos; isto é consequência da unicidade da representação polinomial. Uma forma elementar de ver isto é comparar coeficientes: se duas expressões polinomiais são iguais para todo
, então os coeficientes correspondentes dos mesmos graus são iguais. Aplicando isso aqui, obtemos:
Outra maneira muito prática (se gostar): avaliar em
dá
; derivando e avaliando em
dá
; segunda derivada em
dá
; terceira derivada em
dá
. Mas não precisa derivar — comparar coeficientes bastou.
Portanto a única combinação linear que produz a função zero é a combinação trivial, logo
é linearmente independente.
Passo 9
Conclusão da parte (b):
Como
gera
(Passo 7) e é linearmente independente (Passo 8),
é uma base de
.
Comentário final e incentivo: resumindo, a razão de ser tão simples é que os polinômios têm representação única pelos coeficientes — essa unicidade dá tanto o span quanto a independência de forma direta. Você já tem aí uma ferramenta poderosa para questões semelhantes (por grau diferente, trocar
) — respira fundo, repete esse padrão e a coisa fica tranquila.
Resposta
(a)
é um subespaço vetorial de
.\n(b)
é uma base de
.