Sejam
e
. Defina
.
Se
e
, qual é a dimensão de
?
Se
Passo 1
O enunciado dá quatro vetores
e define
. As relações fornecidas são:
A pergunta é: qual é a dimensão de
?\n
Nada mais é pedido.
Nada mais é pedido.
Passo 2
Vamos lembrar, de forma bem prática e sem enrolação, o que significa cada coisa que vamos usar:
-
é o conjunto de todas as combinações lineares dos vetores dados. Ou seja, um vetor está em quando ele pode ser escrito como
para alguns escalares
.
- A dimensão de um subespaço é o número de vetores em uma base do subespaço. Uma base é um conjunto de vetores que (i) gera o subespaço (ou seja, seu span é o subespaço) e (ii) é linearmente independente.
- Um conjunto com só um vetor
é linearmente independente se, e somente se, . Se então é dependente e o span é apenas o zero.
Vou usar essas ideias passo a passo para achar a dimensão.
Passo 3
Mostremos que qualquer combinação linear de
é, na verdade, um múltiplo escalar de
. Tome escalares
. Então uma combinação linear genérica é
Usando as relações dadas substituímos
por múltiplos de
:
Agrupando fatores escalares na frente de
obtemos
Portanto qualquer vetor da forma
é um múltiplo escalar de
. Isso mostra que
Passo 4
Agora, a dimensão de
é a dimensão de
. Há só duas possibilidades para o subespaço gerado por um único vetor:
- Se
, então é a reta (no sentido de subespaço) formada por todos os múltiplos de . O conjunto gera o subespaço e é linearmente independente (porque ). Logo é uma base com exatamente um vetor, então
- Se
, então olhando para as relações dadas vemos que , , . Assim todos os vetores são o vetor nulo e
o que é o subespaço zero, cuja dimensão é
.
Passo 5
Resumindo de forma direta e prática: a informação das relações mostrou que todos os vetores estão confinados a uma única direção (a de
). Se essa direção for não nula, o subespaço é uma reta (dimensão
). Se
for o vetor nulo, o subespaço é apenas o zero (dimensão
). Não tem outra alternativa.
Resposta
Se
:
Se :
Se