Sejam \vec{u}_{1}, \vec{u}_{2}, \vec{u}_{3} e \vec{u}_{4}. Defina \mathcal{U}=\operatorname{span}\left\{\vec{u}_{1}, \vec{u}_{2}, \vec{u}_{3}, \vec{u}_{4}\right\}.
Se \vec{u}_{1}=4 \vec{u}_{2}, \vec{u}_{3}=-\vec{u}_{2} e \vec{u}_{4}=7 \vec{u}_{2}, qual é a dimensão de \mathcal{U} ?

Passo 1

O enunciado dá quatro vetores \vec{u}_{1}, \vec{u}_{2}, \vec{u}_{3}, \vec{u}_{4} e define \mathcal{U}=\operatorname{span}\{\vec{u}_{1},\vec{u}_{2},\vec{u}_{3},\vec{u}_{4}\}. As relações fornecidas são:
\vec{u}_{1}=4\vec{u}_{2},\qquad \vec{u}_{3}=-\vec{u}_{2},\qquad \vec{u}_{4}=7\vec{u}_{2}.
A pergunta é: qual é a dimensão de \mathcal{U} ?\n
Nada mais é pedido.

Passo 2

Vamos lembrar, de forma bem prática e sem enrolação, o que significa cada coisa que vamos usar:
  • \operatorname{span}\{\dots\} é o conjunto de todas as combinações lineares dos vetores dados. Ou seja, um vetor está em \operatorname{span}\{v_1,\dots,v_k\} quando ele pode ser escrito como
a_1 v_1 + a_2 v_2 + \cdots + a_k v_k
para alguns escalares a_1,\dots,a_k.
  • A dimensão de um subespaço é o número de vetores em uma base do subespaço. Uma base é um conjunto de vetores que (i) gera o subespaço (ou seja, seu span é o subespaço) e (ii) é linearmente independente.
  • Um conjunto com só um vetor \{v\} é linearmente independente se, e somente se, v\neq\vec{0}. Se v=\vec{0} então \{v\} é dependente e o span é apenas o zero.
Vou usar essas ideias passo a passo para achar a dimensão.

Passo 3

Mostremos que qualquer combinação linear de \vec{u}_{1},\vec{u}_{2},\vec{u}_{3},\vec{u}_{4} é, na verdade, um múltiplo escalar de \vec{u}_{2}. Tome escalares a_1,a_2,a_3,a_4. Então uma combinação linear genérica é
a_1\vec{u}_1 + a_2\vec{u}_2 + a_3\vec{u}_3 + a_4\vec{u}_4.
Usando as relações dadas substituímos \vec{u}_1,\vec{u}_3,\vec{u}_4 por múltiplos de \vec{u}_2:
a_1(4\vec{u}_2) + a_2\vec{u}_2 + a_3(-\vec{u}_2) + a_4(7\vec{u}_2).
Agrupando fatores escalares na frente de \vec{u}_2 obtemos
\bigl(4a_1 + a_2 - a_3 + 7a_4\bigr)\vec{u}_2.
Portanto qualquer vetor da forma a_1\vec{u}_1 + a_2\vec{u}_2 + a_3\vec{u}_3 + a_4\vec{u}_4 é um múltiplo escalar de \vec{u}_2. Isso mostra que
\mathcal{U}=\operatorname{span}\{\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{u}_3,\vec{u}_4\}=\operatorname{span}\{\vec{u}_2\}.

Passo 4

Agora, a dimensão de \mathcal{U} é a dimensão de \operatorname{span}\{\vec{u}_2\}. Há só duas possibilidades para o subespaço gerado por um único vetor:
  • Se \vec{u}_2\neq\vec{0}, então \operatorname{span}\{\vec{u}_2\} é a reta (no sentido de subespaço) formada por todos os múltiplos de \vec{u}_2. O conjunto \{\vec{u}_2\} gera o subespaço e é linearmente independente (porque \vec{u}_2\neq\vec{0}). Logo é uma base com exatamente um vetor, então
\dim(\mathcal{U})=1.
  • Se \vec{u}_2=\vec{0}, então olhando para as relações dadas vemos que \vec{u}_1=4\vec{u}_2=\vec{0}, \vec{u}_3=-\vec{u}_2=\vec{0}, \vec{u}_4=7\vec{u}_2=\vec{0}. Assim todos os vetores são o vetor nulo e
\mathcal{U}=\{\vec{0}\},
o que é o subespaço zero, cuja dimensão é 0.

Passo 5

Resumindo de forma direta e prática: a informação das relações mostrou que todos os vetores estão confinados a uma única direção (a de \vec{u}_2). Se essa direção for não nula, o subespaço é uma reta (dimensão 1). Se \vec{u}_2 for o vetor nulo, o subespaço é apenas o zero (dimensão 0). Não tem outra alternativa.

Resposta

Se \vec{u}_2=\vec{0}: \dim(\mathcal{U})=0.
Se \vec{u}_2\neq\vec{0}: \dim(\mathcal{U})=1.

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