Considere um conversor monofásico com tiristores, com
eficaz a
e
. O ângulo de disparo é
. Esse conversor está fornecendo 1 kW de potência elétrica. A corrente elétrica
do lado CC pode ser considerada puramente CC .
3. Supondo que as correntes elétricas através dos tiristores aumentem/diminuam linearmente durante as comutações, calcule a potência elétrica reativa consumida pelo conversor.
3. Supondo que as correntes elétricas através dos tiristores aumentem/diminuam linearmente durante as comutações, calcule a potência elétrica reativa consumida pelo conversor.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (sem resolver nada ainda).
-
Dados fornecidos:
- Tensão de linha (rms):
. - Frequência:
. - Indutância de fonte:
. - Ângulo de disparo:
. - Potência contínua entregue no lado CC:
. - A corrente CC no lado contínuo é puramente contínua (constante):
(constante). - Informação adicional do enunciado: as correntes através dos tiristores aumentam/diminuem linearmente durante as comutações (isso define a forma do pulso de corrente durante o ângulo de comutação
).
- Tensão de linha (rms):
-
O que o enunciado pede:
- Calcular a potência reativa consumida pelo conversor (ou seja, o valor de
, em var), considerando o efeito da comutação induzida por .
- Calcular a potência reativa consumida pelo conversor (ou seja, o valor de
Passo 2
Planejamento do método (o “como” que vamos usar) — sem cálculos ainda, só a ideia.
- Passo essencial: determinar a corrente CC
que, com as perdas/quedas envolvendo a comutação, produz . Para isso precisamos de uma expressão da tensão média CC que inclua o efeito da comutação (ângulo de sobreposição ) causada pela indutância de fonte. - Fórmula usada (conhecimento padrão de retificadores monofásicos com fonte indutiva): a tensão média no lado CC, levando em conta a sobreposição
, satisfaz onde é a amplitude da senóide de fonte e . - Vou explicar essa fórmula no próximo passo: ela representa a tensão média ideal da ponte controlada reduzida pela queda média associada ao processo de comutação (queda proporcional a
).
- Vou explicar essa fórmula no próximo passo: ela representa a tensão média ideal da ponte controlada reduzida pela queda média associada ao processo de comutação (queda proporcional a
- Depois de achar
(resolvendo a equação ), encontraremos o ângulo de sobreposição usando a relação exata entre e : - Vou mostrar como obtemos
a partir desta equação.
- Vou mostrar como obtemos
- Por fim, para calcular a potência reativa
usaremos a componente fundamental da corrente de linha e sua defasagem em relação à tensão fundamental: - A amplitude da componente fundamental do corrente de linha, considerando comutação linear de duração
, é - Explico a origem desta expressão por Fourier logo a seguir.
- O componente fundamental tem uma defasagem (deslocamento) aproximadamente
em relação à referência da tensão; a partir disso
- A amplitude da componente fundamental do corrente de linha, considerando comutação linear de duração
- Vou executar esses passos um a um, mostrando a origem das fórmulas e calculando numericamentes.
Passo 3
Aulas rápidas (intuición e fórmulas-chave) antes de aplicar números.
-
Tensão de saída ideal de uma ponte monofásica controlada (sem indutância de fonte):
- A amplitude da senóide de fase é
. - A tensão média DC ideal (corrente contínua, sem comutação) é
Explicação rápida: essa expressão é obtida integrando a forma da tensão de fase durante os intervalos de condução de radianos e normalizando por . A aparece porque a condução começa em .
- A amplitude da senóide de fase é
-
Efeito da indutância de fonte (comutação de duração
): - Quando existe
, a corrente não pode mudar instantaneamente; durante a transição entre dois tiristores a corrente “troca” entre eles em um intervalo não nulo . Durante esse intervalo há uma diferença de tensão entre os dois enrolamentos (ou fases) aplicada à indutância, e isso resulta numa redução média da tensão DC de saída. - A redução média é proporcional a
(sendo ) e, por integração sobre o período, a forma compacta usada é Observação: essa fórmula é muito usada em livros de eletrônica de potência para conversores monofásicos com corrente contínua constante; a term representa a queda média no valor DC por causa da energia temporariamente “armazenada”/liberada na indutância durante comutação.
- Quando existe
-
Relação exata entre
e : - A equação exata é
- Essa equação vem da condição integral da comutação: a variação da corrente multiplicada por
integrada sobre o tempo de comutação deve igualar a diferença instantânea das tensões de fase, levando à expressão acima (é a forma exata; para pequeno pode linearizar em ).
- Essa equação vem da condição integral da comutação: a variação da corrente multiplicada por
- A equação exata é
-
Componente fundamental da corrente:
- Se o perfil da corrente no lado AC for um “quase quadrado” com transições lineares de duração
, a componente fundamental da corrente (amplitude) resulta em e seu valor eficaz é . - Intuição: sem comutação (
) obtém-se o quadrado perfeito com amplitude fundamental . A comutação suave (largura ) “esticando” a borda reduz a componente fundamental por um fator . - A defasagem do primeiro harmônico (em relação à referência de fase da tensão) é aproximadamente
. (Isto vem da natureza da posição das transições em relação ao ponto de disparo e do centro da janela de comutação; em muitos textos essa é a interpretação prática usada para calcular Q).
- Se o perfil da corrente no lado AC for um “quase quadrado” com transições lineares de duração
-
Potência reativa associada à componente fundamental:
- Componente fundamental da tensão é a própria tensão de rede de amplitude eficaz
. - Assim a potência reativa (desconsiderando efeitos que envolvam harmônicas na definição clássica de potência reativa usando apenas a fundamental) é
- Componente fundamental da tensão é a própria tensão de rede de amplitude eficaz
Agora aplico tudo numericamente.
Passo 4
Calcular valores numéricos intermediários essenciais.
- Primeiro calculemos constantes:
Passo 5
Achar
usando a equação da tensão média com a queda por comutação.
- A relação entre
e é - A potência DC é
, portanto - Colocando números:
E - Portanto a equação fica
Reescrevendo em forma quadrática: - Resolvendo a quadrática (fórmula de Bhaskara):
Temos duas raízes; calculando:
- Escolhemos a solução fisicamente plausível para um conversor que entrega 1 kW com
da ordem de algumas dezenas de volts: (a outra raiz corresponderia a uma situação com tensão DC muito baixa e corrente muito alta, improvável no contexto).
Verificação rápida:
e pela fórmula direta
coincidindo (boa consistência).
Passo 6
Calcular o ângulo de sobreposição
usando a relação exata.
- Usamos
Isolando : - Numéricamente:
- Portanto
Como , obtemos - Observação: se
fosse muito pequeno poderíamos linearizar e obter ; esse valor aproximado daria , a aproximação dá resultado próximo, mas usamos a equação exata para maior precisão.
Passo 7
Determinar a componente fundamental do corrente e sua defasagem.
- Fórmulas (relembrando do Passo 3):
- Calculemos numericamente:
Passo 8
Calcular a potência reativa
.
- Usando a definição (apenas componente fundamental):
- Substituindo números:
- Arredondando com sentido prático:
, indutivo (positivo, ou seja, o conversor consome potência reativa da fonte).