Considere um conversor monofásico com tiristores, com V_{\mathrm{s}}=120 \mathrm{~V} eficaz a f=60 \mathrm{~Hz} e L_{\mathrm{s}}=3 \mathrm{mH}. O ângulo de disparo é \alpha=45^{\circ}. Esse conversor está fornecendo 1 kW de potência elétrica. A corrente elétrica i_{\mathrm{d}}(t) do lado CC pode ser considerada puramente CC .
  1. Calcule o ângulo de comutação u.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede o ângulo de comutação u:
  • Tensão de fonte eficaz: V_{\mathrm{s}}=120\\ \mathrm{V} (mono‑fase).
  • Frequência: f=60\\ \mathrm{Hz}.
  • Indutância de fonte: L_{\mathrm{s}}=3\\ \mathrm{mH}.
  • Ângulo de disparo: \alpha=45^\circ.
  • Potência entregue no lado CC: 1000\\ \mathrm{W}.
  • A corrente CC do lado de saída pode ser considerada puramente contínua: i_{\mathrm{d}}(t)=I_{\mathrm{d}} constante.
Pedido: calcular o ângulo de comutação u (ângulo elétrico, em rad ou graus).

Passo 2

Primeiro passo prático: obter amplitude da tensão de linha (valor de pico) e a pulsação angular.
  • A amplitude da fonte é \displaystyle V_{m}=\sqrt{2}\,V_{\mathrm{s}}. Logo
V_{m}=\sqrt{2}\cdot120=169{,}7056\\ \mathrm{V}.
  • A pulsação é \displaystyle \omega=2\pi f. Logo
\omega=2\pi\cdot60=376{,}9911\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 3

Explicar o fenômeno de comutação (de forma didática e curta).
  • Num conversor totalmente controlado monofásico, os tiristores são disparados a cada \pi radianos (metade de ciclo). Quando um novo par é disparado há um intervalo finito durante o qual a corrente transfere do par que estava conduzindo para o par novo: esse intervalo é a comutação (overlap) e tem duração angular u.
  • A indutância série L_{\mathrm{s}} impede variações instantâneas de corrente, e a variação de corrente durante o intervalo u é imposta pela diferença instantânea das tensões da fonte nos dois ramos comutantes. Fazendo balanço de tensão sobre a indutância e integrando, chega‑se à relação entre u, I_{\mathrm{d}}, L_{\mathrm{s}}, \omega, V_{m} e \alpha (derivação padrão em eletrônica de potência).

Passo 4

Apresentar a equação que relaciona as grandezas (derivação resumida).
  • Durante o intervalo de comutação a tensão efetiva que provoca a variação de corrente na indutância é a diferença entre as duas tensões instantâneas da fonte envolvidas. Integrando L_{\mathrm{s}}\,\mathrm{d}i/\mathrm{d}t = v_{\text{dif}}(t) sobre o intervalo de comutação e reconhecendo que a variação total de corrente é I_{\mathrm{d}}, obtém‑se a relação (expressão padrão):
\omega L_{\mathrm{s}} I_{\mathrm{d}} = 2 V_{m}\bigl(\cos\alpha - \cos(\alpha+u)\bigr).
  • Nesta fórmula:
    • L_{\mathrm{s}} é a indutância série ( \mathrm{H});
    • I_{\mathrm{d}} é a corrente CC (A);
    • V_{m} é a amplitude da tensão de fonte (V);
    • \alpha e u estão em radianos (ou graus, desde que consistente com a função cosseno);
    • \omega é a pulsação (\mathrm{rad/s}).
(Observação didática curta: a equação vem de integrar L\,\mathrm{d}i = \int v_{\text{dif}}(t)\,\mathrm{d}t entre os instantes de início e fim da comutação; o fator 2 aparece porque, no monofásico, a diferença das tensões seno com fase deslocada de \pi gera um termo 2V_m\sin(\omega t) na equação diferencial.)

Passo 5

Calcular a corrente CC I_{\mathrm{d}} assumindo, numa primeira aproximação, que o valor médio de tensão CC sem considerar a perda por comutação é dado pela expressão padrão do conversor monofásico totalmente controlado:
V_{\mathrm{d0}}=\frac{2V_{m}}{\pi}\cos\alpha.
  • Calculemos V_{\mathrm{d0}}:
\frac{2V_{m}}{\pi}=\frac{2\cdot169{,}7056}{\pi}=108{,}000\\ \mathrm{V}\quad(\text{aprox.}),
V_{\mathrm{d0}}=108{,}000\cdot\cos45^\circ=108{,}000\cdot0{,}70710678=76{,}3675\\ \mathrm{V}.
  • Como a potência CC fornecida é P=1000\\ \mathrm{W} e P=V_{\mathrm{d}}I_{\mathrm{d}} e aqui usamos V_{\mathrm{d0}} como aproximação de V_{\mathrm{d}},
I_{\mathrm{d}}=\frac{P}{V_{\mathrm{d0}}}=\frac{1000}{76{,}3675}=13{,}0883\\ \mathrm{A}.

Passo 6

Usar a equação de comutação para encontrar u. Reescrevendo a equação:
\cos(\alpha+u)=\cos\alpha-\frac{\omega L_{\mathrm{s}} I_{\mathrm{d}}}{2V_{m}}.
Agora substituímos os valores numéricos:
\omega L_{\mathrm{s}}=2\pi\cdot60\cdot0{,}003=1{,}1309734\\ \mathrm{\Omega},
\omega L_{\mathrm{s}} I_{\mathrm{d}}=1{,}1309734\cdot13{,}0883=14{,}8019\\ \mathrm{V},
\frac{\omega L_{\mathrm{s}} I_{\mathrm{d}}}{2V_{m}}=\frac{14{,}8019}{2\cdot169{,}7056}=\frac{14{,}8019}{339{,}4113}=0{,}04359.
\cos(\alpha+u)=\cos45^\circ-0{,}04359=0{,}70710678-0{,}04359=0{,}66352.
Portanto
\alpha+u=\operatorname{arccos}(0{,}66352)=48{,}477^\circ\quad(\text{aprox.}).
Como \alpha=45^\circ,
u=48{,}477^\circ-45^\circ=3{,}477^\circ.
Em radianos:
u=3{,}477^\circ\cdot\frac{\pi}{180}=0{,}0607\\ \mathrm{rad}\quad(\text{aprox.}).

Passo 7

Comentário final (motivacional e prático): o ângulo de comutação ficou pequeno ( \approx3{,}5^\circ), o que justifica a aproximação inicial de usar V_{\mathrm{d0}} para obter I_{\mathrm{d}}. Se quiser maior precisão em prova, pode-se iterar — recalcular V_{\mathrm{d}} considerando a redução causada pela comutação e recalcular I_{\mathrm{d}} e então u novamente — mas a diferença será muito pequena neste caso.

Resposta

u\approx3{,}48^\circ\approx0{,}0607\\ \mathrm{rad}

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