Sua empresa foi contratada para projetar um filtro passa-baixas que deve ser conectado a um woofer. A faixa de graves inclui frequências até 300 Hz . Mas, de acordo com o cliente, o filtro deve atenuar um sinal de 250 Hz em 3 dB quando comparado com o seu valor de 25 MHz . Além disso, foi ressaltado pelo cliente que o filtro deve fornecer uma saída em regime estacionário de v_{o}=12 \cdot \sin \left(2 \pi \cdot 10^{6}+180^{\circ}\right) para uma entrada v_{i}=4 \cdot \sin \left(2 \pi \cdot 10^{6}+180^{\circ}\right). Como engenheiro da empresa:
a) Projete o filtro solicitado, utilizando \mathrm{C}=1 \mu \mathrm{~F}.
b) Determine o ganho
c) Demonstre a função de transferência

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá (e uma pequena hipótese necessária porque a frase sobre 250 Hz e 25 MHz está ambígua — vou explicar a hipótese que torna o problema consistente):
  • Dados explícitos:
    • A faixa de graves vai até 300\\ \mathrm{Hz}.
    • Foi dada a capacidade disponível: C = 1\\ \mu\mathrm{F}.
    • Para uma entrada v_i=4\cdot\sin\!\bigl(2\pi\cdot10^{6}t + 180^\circ\bigr) o filtro deve entregar v_o=12\cdot\sin\!\bigl(2\pi\cdot10^{6}t + 180^\circ\bigr) em regime estacionário.
  • O que isso implica imediatamente:
    • No seno com frequência 1\\ \mathrm{MHz} (pois 2\pi\cdot10^{6} rad/s corresponde a f=1\\ \mathrm{MHz}) o ganho em módulo deve ser \dfrac{12}{4}=3.
    • Como os dois sinais têm o mesmo deslocamento de fase 180^\circ, o filtro deve introduzir fase aproximadamente 0^\circ nessa frequência (ou seja, não inverter o sinal adicionalmente).
  • Sobre a frase ambígua do enunciado: “o filtro deve atenuar um sinal de 250 Hz em 3 dB quando comparado com o seu valor de 25 MHz”. Para que isso faça sentido com o restante (filtro passa-baixas e ganho 3 em 1\\ \mathrm{MHz}), adoto a leitura consistente:
    • o cliente queria dizer que o ganho cai 3 dB no ponto de corte em torno de 25\\ \mathrm{MHz} (ou seja, f_c=25\\ \mathrm{MHz} é a —/o ponto de -3\\ \mathrm{dB}). Essa interpretação torna o problema consistente: as frequências graves até 300 Hz estão no passe-banda; 1\\ \mathrm{MHz} está bem abaixo de 25\\ \mathrm{MHz} e pode ter ganho 3.
  • Resumo do que preciso projetar:
    (a) Projetar um filtro passa-baixas usando C=1\\ \mu\mathrm{F} e que tenha -3\\ \mathrm{dB} em f_c=25\\ \mathrm{MHz}.
    (b) Determinar o ganho (em particular no 1\\ \mathrm{MHz} pedido).
    (c) Apresentar a função de transferência do filtro.

Passo 2

Escolha de topologia e justificativa (sem calcular ainda):
  • Vou usar a topologia mais simples e didática que permite ganho maior que 1: um filtro passa-baixas RC simples seguido por um amplificador não inversor com ganho K.
    • O estágio RC fornece o pólo (a frequência de corte) e tem função de transferência \dfrac{1}{1+sRC} (no formato normalizado).
    • O amplificador não inversor em cascata multiplica essa resposta por um ganho constante K.
  • Vantagens dessa escolha:
    • É direto de analisar e construir.
    • Permite ganho estável K>1 sem alterar a posição do pólo (o pólo é fixado pelo R e C do RC).
  • Assim, a função de transferência do conjunto será do tipo
H(s)=K\cdot\frac{1}{1+sRC}.
Vou calcular R a partir de f_c e escolher resistores do amplificador para obter K=3.

Passo 3

Fórmula do polo (explicação didática):
  • Para um RC passa-baixas simples (resistor em série e capacitor shunt ao terra), a impedância do capacitor é \dfrac{1}{sC}. A função de transferência (da tensão sobre o capacitor, que é a saída) é
\frac{V_o}{V_i}=\frac{\dfrac{1}{sC}}{R+\dfrac{1}{sC}}=\frac{1}{1+sRC}.
  • A frequência de corte em hertz (ponto de -3\\ \mathrm{dB}) é dada por
f_c=\frac{1}{2\pi RC}.
  • Aqui R é a resistência do resistor série do filtro e C é a capacitância; s=j\omega com \omega=2\pi f.

Passo 4

Cálculo de R usando f_c=25\\ \mathrm{MHz} e C=1\\ \mu\mathrm{F}:
  • Usando \displaystyle f_c=\frac{1}{2\pi RC} resolvo para R:
R=\frac{1}{2\pi f_c C}.
  • Substituindo os valores ( f_c=25\times10^{6}\\ \mathrm{Hz}, C=1\times10^{-6}\\ \mathrm{F}):
R=\frac{1}{2\pi\cdot25\times10^{6}\cdot1\times10^{-6}}=\frac{1}{2\pi\cdot25}=\frac{1}{50\pi}.
  • Valor numérico:
R\approx\frac{1}{157{,}0796327}\approx 0{,}0063662\\ \Omega.
  • Interpretação prática: esse R é muito pequeno (cerca de 6{,}37\\ \mathrm{m}\Omega). Eu mostro o número porque foi imposto C=1\\ \mu\mathrm{F}; na prática esse valor de C e essa frequência de corte exigiriam um resistor muito pequeno e técnicas de projeto especiais. Ainda assim, matematicamente esse é o R que posiciona o pólo em 25\\ \mathrm{MHz}.

Passo 5

Projeto do amplificador não inversor para obter ganho K=3:
  • Para um amplificador operacional configurado em não inversor, o ganho em regime estacionário é
K=1+\frac{R_f}{R_g},
onde R_f é o resistor de realimentação (entre saída e entrada negativa) e R_g é o resistor entre entrada negativa e terra.
  • Para K=3 quero \dfrac{R_f}{R_g}=2. Escolho valores práticos (ex.: R_f=20\\ \mathrm{k}\Omega e R_g=10\\ \mathrm{k}\Omega), mais uma escolha possível é R_f=200\\ \mathrm{k}\Omega e R_g=100\\ \mathrm{k}\Omega. Portanto:
K=1+\frac{20\\ \mathrm{k}\Omega}{10\\ \mathrm{k}\Omega}=3.
  • Observação didática: o ganho é independente dos valores absolutos escolhidos, depende apenas da razão R_f/R_g. Escolhi resistores na casa de 10\text{–}100\\ \mathrm{k}\Omega por serem comuns e práticos.

Passo 6

Função de transferência completa (derivação):
  • O estágio RC tem \displaystyle H_{RC}(s)=\frac{1}{1+sRC}.
  • O estágio de ganho tem ganho constante K=3.
  • Assim a função do sistema em cascata é
H(s)=K\cdot\frac{1}{1+sRC}.
  • Substituindo K=3 e escrevendo em termos de \omega_c (onde \omega_c=2\pi f_c):
H(s)=\frac{3}{1+\dfrac{s}{\omega_c}}, \qquad \omega_c=2\pi\cdot25\times10^{6}\\ \mathrm{rad/s}.
  • Valor numérico de \omega_c:
\omega_c=2\pi\cdot25\times10^{6}\approx 157{,}079{,}632{,}7\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 7

Verificação do requisito do enunciado para 1\\ \mathrm{MHz} (cálculo do ganho em módulo e fase):
  • A resposta em frequência é H(j\omega)=\dfrac{3}{1+j\omega/\omega_c}. Para uma frequência f temos \omega=2\pi f.
  • Em f=1\\ \mathrm{MHz} temos \dfrac{f}{f_c}=\dfrac{1\times10^{6}}{25\times10^{6}}=0{,}04.
  • Módulo:
|H(j\omega)|=\frac{3}{\sqrt{1+(f/f_c)^2}}=\frac{3}{\sqrt{1+0{,}04^2}}=\frac{3}{\sqrt{1+0{,}0016}}\approx\frac{3}{1{,}0008}\approx2{,}9976.
  • Então a saída para entrada de amplitude 4\\ \mathrm{V} será aproximadamente 4\cdot2{,}9976\approx11{,}99\\ \mathrm{V}, muito próximo de 12\\ \mathrm{V} pedido.
  • Fase:
\angle H(j\omega)=-\arctan\!\left(\frac{f}{f_c}\right)=-\arctan(0{,}04)\approx -2{,}29^\circ.
  • Como os sinais dados no enunciado ambos têm deslocamento +180^\circ, a diferença de fase entre entrada e saída é cerca de -2{,}29^\circ (isto é, praticamente 0^\circ dentro de tolerâncias praticáveis). Portanto o requisito prático (mesma fase) é atendido com boa aproximação.

Passo 8

Resumo prático do projeto e observações
  • Projeto implementado (uma solução prática e didática):
    • Etapa 1: filtro RC passa-baixas com C=1\\ \mu\mathrm{F} e R\approx0{,}0063662\\ \Omega (para f_c=25\\ \mathrm{MHz}).
    • Etapa 2: amplificador não inversor com R_f=20\\ \mathrm{k}\Omega, R_g=10\\ \mathrm{k}\Omega para obter K=3.
  • Observação importante de engenharia: o valor de R calculado é muito baixo; na prática para operar em 25\\ \mathrm{MHz} costuma-se usar técnicas de montagem de impedância adequada (ex.: reduzir C e escolher R em faixas práticas, ou implementar o pólo com elementos ativos ou com topologias de filtro ativo que permitam valores de componente mais razoáveis). Mas matematicamente e para efeito de projeto direto com C dado, os valores acima satisfazem as condições especificadas.
  • Com esses parâmetros, o ganho em 1\\ \mathrm{MHz} é praticamente 3 e a função de transferência é a da etapa anterior.

Resposta

(a) Um projeto prático: filtro RC passa-baixas (entrada) com C=1\\ \mu\mathrm{F} e R=\dfrac{1}{2\pi\cdot25\times10^{6}\cdot1\times10^{-6}}=\dfrac{1}{50\pi}\approx0{,}0063662\\ \Omega, seguido por amplificador não inversor com R_f=20\\ \mathrm{k}\Omega e R_g=10\\ \mathrm{k}\Omega (ganho K=3).
(b) Ganho (em regime estacionário para f=1\\ \mathrm{MHz}): |H(j\omega)|\approx2{,}9976 (aprox. 3); portanto saída 12\\ \mathrm{V} para entrada 4\\ \mathrm{V}.
(c) Função de transferência:
H(s)=\frac{3}{1+\dfrac{s}{\omega_c}},\qquad \omega_c=2\pi\cdot25\times10^{6}\\ \mathrm{rad/s}\approx157{,}079{,}632{,}7\\ \mathrm{rad/s}.

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