Sua empresa foi contratada para projetar um filtro passa-baixas que deve ser conectado a um woofer. A faixa de graves inclui frequências até 300 Hz . Mas, de acordo com o cliente, o filtro deve atenuar um sinal de 250 Hz em 3 dB quando comparado com o seu valor de 25 MHz . Além disso, foi ressaltado pelo cliente que o filtro deve fornecer uma saída em regime estacionário de
para uma entrada
. Como engenheiro da empresa:
a) Projete o filtro solicitado, utilizando
.
b) Determine o ganho
c) Demonstre a função de transferência
a) Projete o filtro solicitado, utilizando
b) Determine o ganho
c) Demonstre a função de transferência
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá (e uma pequena hipótese necessária porque a frase sobre 250 Hz e 25 MHz está ambígua — vou explicar a hipótese que torna o problema consistente):
- Dados explícitos:
- A faixa de graves vai até
. - Foi dada a capacidade disponível:
. - Para uma entrada
o filtro deve entregar em regime estacionário.
- A faixa de graves vai até
- O que isso implica imediatamente:
- No seno com frequência
(pois rad/s corresponde a ) o ganho em módulo deve ser . - Como os dois sinais têm o mesmo deslocamento de fase
, o filtro deve introduzir fase aproximadamente nessa frequência (ou seja, não inverter o sinal adicionalmente).
- No seno com frequência
- Sobre a frase ambígua do enunciado: “o filtro deve atenuar um sinal de 250 Hz em 3 dB quando comparado com o seu valor de 25 MHz”. Para que isso faça sentido com o restante (filtro passa-baixas e ganho 3 em
), adoto a leitura consistente: - o cliente queria dizer que o ganho cai 3 dB no ponto de corte em torno de
(ou seja, é a —/o ponto de ). Essa interpretação torna o problema consistente: as frequências graves até 300 Hz estão no passe-banda; está bem abaixo de e pode ter ganho .
- o cliente queria dizer que o ganho cai 3 dB no ponto de corte em torno de
- Resumo do que preciso projetar:
(a) Projetar um filtro passa-baixas usandoe que tenha em .
(b) Determinar o ganho (em particular nopedido).
(c) Apresentar a função de transferência do filtro.
Passo 2
Escolha de topologia e justificativa (sem calcular ainda):
- Vou usar a topologia mais simples e didática que permite ganho maior que 1: um filtro passa-baixas RC simples seguido por um amplificador não inversor com ganho
. - O estágio RC fornece o pólo (a frequência de corte) e tem função de transferência
(no formato normalizado). - O amplificador não inversor em cascata multiplica essa resposta por um ganho constante
.
- O estágio RC fornece o pólo (a frequência de corte) e tem função de transferência
- Vantagens dessa escolha:
- É direto de analisar e construir.
- Permite ganho estável
sem alterar a posição do pólo (o pólo é fixado pelo e do RC).
- Assim, a função de transferência do conjunto será do tipo
Vou calcular
a partir de
e escolher resistores do amplificador para obter
.
Passo 3
Fórmula do polo (explicação didática):
- Para um RC passa-baixas simples (resistor em série e capacitor shunt ao terra), a impedância do capacitor é
. A função de transferência (da tensão sobre o capacitor, que é a saída) é
- A frequência de corte em hertz (ponto de
) é dada por
- Aqui
é a resistência do resistor série do filtro e é a capacitância; com .
Passo 4
Cálculo de
usando
e
:
- Usando
resolvo para :
- Substituindo os valores (
, ):
- Valor numérico:
- Interpretação prática: esse
é muito pequeno (cerca de ). Eu mostro o número porque foi imposto ; na prática esse valor de e essa frequência de corte exigiriam um resistor muito pequeno e técnicas de projeto especiais. Ainda assim, matematicamente esse é o que posiciona o pólo em .
Passo 5
Projeto do amplificador não inversor para obter ganho
:
- Para um amplificador operacional configurado em não inversor, o ganho em regime estacionário é
onde
é o resistor de realimentação (entre saída e entrada negativa) e
é o resistor entre entrada negativa e terra.
- Para
quero . Escolho valores práticos (ex.: e ), mais uma escolha possível é e . Portanto:
- Observação didática: o ganho é independente dos valores absolutos escolhidos, depende apenas da razão
. Escolhi resistores na casa de por serem comuns e práticos.
Passo 6
Função de transferência completa (derivação):
- O estágio RC tem
. - O estágio de ganho tem ganho constante
. - Assim a função do sistema em cascata é
- Substituindo
e escrevendo em termos de (onde ):
- Valor numérico de
:
Passo 7
Verificação do requisito do enunciado para
(cálculo do ganho em módulo e fase):
- A resposta em frequência é
. Para uma frequência temos . - Em
temos . - Módulo:
- Então a saída para entrada de amplitude
será aproximadamente , muito próximo de pedido. - Fase:
- Como os sinais dados no enunciado ambos têm deslocamento
, a diferença de fase entre entrada e saída é cerca de (isto é, praticamente dentro de tolerâncias praticáveis). Portanto o requisito prático (mesma fase) é atendido com boa aproximação.
Passo 8
Resumo prático do projeto e observações
- Projeto implementado (uma solução prática e didática):
- Etapa 1: filtro RC passa-baixas com
e (para ). - Etapa 2: amplificador não inversor com
, para obter .
- Etapa 1: filtro RC passa-baixas com
- Observação importante de engenharia: o valor de
calculado é muito baixo; na prática para operar em costuma-se usar técnicas de montagem de impedância adequada (ex.: reduzir e escolher em faixas práticas, ou implementar o pólo com elementos ativos ou com topologias de filtro ativo que permitam valores de componente mais razoáveis). Mas matematicamente e para efeito de projeto direto com dado, os valores acima satisfazem as condições especificadas. - Com esses parâmetros, o ganho em
é praticamente e a função de transferência é a da etapa anterior.
Resposta
(a) Um projeto prático: filtro RC passa-baixas (entrada) com
e
, seguido por amplificador não inversor com
e
(ganho
).
(b) Ganho (em regime estacionário para ):
(aprox.
); portanto saída
para entrada
.
(c) Função de transferência:
(b) Ganho (em regime estacionário para
(c) Função de transferência: