Considere uma corda tensa para a qual \mu=5,0 \times 10^{-2} \mathrm{~kg} / \mathrm{m} está sob uma tensão de 80,0 \mathrm{~N}.
(a) Quanta potência deve ser fornecida para a corda a fim de gerar ondas senoidais na frequência de 60,0 \mathrm{~Hz} e uma amplitude de 6,0 \mathrm{~cm} ?
(b) Considerando agora que a corda transfere energia a uma taxa de 1000 W em vez de 512 W. Qual deve ser a amplitude necessária se todos os outros parâmetros permanecem os mesmos?
(R: (a) 512 \mathrm{~W} ;(\mathrm{b}) 8,38 \mathrm{~cm} ).

Passo 1

O enunciado dá uma corda com massa linear e tensão, e pede duas coisas. Vou listar claramente o que foi dado e o que cada item pede.
Dados fornecidos:
\mu = 5{,}0 \times 10^{-2}\\ \mathrm{kg/m} (massa por unidade de comprimento)
T = 80{,}0\\ \mathrm{N} (tensão na corda)
f = 60{,}0\\ \mathrm{Hz} (frequência das ondas senoidais)
A amplitude pedida em (a): A = 6{,}0\\ \mathrm{cm} = 0{,}06\\ \mathrm{m} (converti para metros porque vamos fazer cálculos)
O que o enunciado pede:
(a) Calcular a potência que deve ser fornecida para manter ondas senoidais na corda com os dados acima.
(b) Se a potência transferida for 1000\\ \mathrm{W} (em vez do valor de (a)), encontrar a nova amplitude necessária mantendo os outros parâmetros iguais.

Passo 2

Entendendo a física e a fórmula que vamos usar (aula rápida, passo a passo).
Quando uma onda transversal senoidal viaja numa corda tensa, a potência média transportada pela onda (energia por segundo que atravessa uma seção da corda) é dada por uma expressão padrão. Vou derivá-la de forma simples para você entender de onde vem.
Considere uma onda viajante do tipo
y(x,t)=A\cos(kx-\omega t),
onde:
  • A é a amplitude (metros),
  • k é o número de onda (rad/m),
  • \omega é a frequência angular (rad/s).
A velocidade transversal de uma porção da corda é
\frac{\partial y}{\partial t} = \omega A \sin(kx-\omega t).
A força vertical na corda (tensão projetada) ligada à inclinação é aproximada (pequenas inclinações) por
F_y = -T\frac{\partial y}{\partial x} = -T(-kA\sin(kx-\omega t)) = T k A \sin(kx-\omega t).
A potência instantânea que atravessa a seção é produto força × velocidade:
P_{\text{inst}} = F_y\frac{\partial y}{\partial t} = T k A \sin(kx-\omega t)\cdot \omega A \sin(kx-\omega t).
Isso dá
P_{\text{inst}} = T k \omega A^2 \sin^2(kx-\omega t).
Como a potência que interessa é a média no tempo (porque \sin^2 oscila), usamos o valor médio \langle \sin^2 \rangle = 1/2. Assim a potência média é
\langle P\rangle = \frac{1}{2}T k \omega A^2.

Passo 3

Conectar constantes físicas. Sabemos que o número de onda e a frequência angular estão relacionados à velocidade de propagação v por
k = \frac{\omega}{v}.
Substituindo em \langle P\rangle:
\langle P\rangle = \frac{1}{2}T\left(\frac{\omega}{v}\right)\omega A^2 = \frac{1}{2}\frac{T\omega^2 A^2}{v}.
Também lembrando que a velocidade de onda numa corda tensa é
v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}.
Substituindo v na fórmula anterior podemos escrever a potência média de duas formas equivalentes úteis:
\langle P\rangle = \frac{1}{2}\mu \omega^2 v A^2
ou
\langle P\rangle = \frac{1}{2}\frac{T \omega^2 A^2}{v}.
Ambas são equivalentes; eu vou usar a forma
\langle P\rangle = \frac{1}{2}\mu \omega^2 v A^2
porque já temos \mu e T e fica simples calcular v primeiro.

Passo 4

Calcular a velocidade de propagação v da onda na corda usando os dados:
v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}=\sqrt{\frac{80{,}0}{5{,}0\times10^{-2}}}.
Calcule o que está dentro da raiz:
\frac{80{,}0}{5{,}0\times10^{-2}}=\frac{80{,}0}{0{,}05}=1600.
Portanto
v=\sqrt{1600}=40{,}0\\ \mathrm{m/s}.
Isso é bacana porque deu um número inteiro — sempre bom.

Passo 5

Calcular a frequência angular \omega a partir da frequência f:
\omega = 2\pi f = 2\pi\cdot 60{,}0 = 120\pi\\ \mathrm{rad/s}.
Se precisar de valor numérico aproximado:
\omega \approx 120\pi \approx 376{,}991\\ \mathrm{rad/s}.
Também vamos usar \omega^2 no cálculo, então
\omega^2 = (120\pi)^2 = 14400\pi^2 \approx 142122{,}7034\\ \mathrm{(rad/s)^2}.

Passo 6

Agora substituímos tudo na fórmula da potência média
\langle P\rangle = \frac{1}{2}\mu \omega^2 v A^2.
Colocando os números (lembre que A=0{,}06\\ \mathrm{m}):
\mu = 5{,}0\times10^{-2}\\ \mathrm{kg/m},
\omega^2 \approx 142122{,}7034\\ \mathrm{(rad/s)^2},
v = 40{,}0\\ \mathrm{m/s},
A^2 = (0{,}06)^2 = 0{,}0036\\ \mathrm{m^2}.
Multiplicando passo a passo:
\mu\omega^2 = 5{,}0\times10^{-2}\times142122{,}7034 \approx 7106{,}13517,
\mu\omega^2 v \approx 7106{,}13517\times 40{,}0 \approx 284245{,}4068,
\mu\omega^2 v A^2 \approx 284245{,}4068\times 0{,}0036 \approx 1023{,}28346.
Agora a potência média (metade disso):
\langle P\rangle = \frac{1}{2}\times 1023{,}28346 \approx 511{,}64173\\ \mathrm{W}.
Arredondando de forma razoável dá \approx 512\\ \mathrm{W}.

Passo 7

Comentário didático rápido: por que esse número parece grande? A potência cresce com \omega^2 e com A^2. Para frequências altas e amplitudes relativamente grandes, a corda transporta muita energia. A velocidade v entra de forma linear na expressão que usamos; se a corda fosse mais leve (menor \mu), v mudaria e o resultado também.

Passo 8

Agora o item (b): queremos achar a amplitude A necessária se a potência média for P=1000\\ \mathrm{W}, mantendo \mu, T e f iguais. Partimos da mesma fórmula e isolamos A:
P = \frac{1}{2}\mu \omega^2 v A^2 \quad\Rightarrow\quad A^2 = \frac{2P}{\mu\omega^2 v}
A = \sqrt{\frac{2P}{\mu\omega^2 v}}.

Passo 9

Substituir números em (b). Já calculamos \mu\omega^2 v \approx 284245{,}4068 no Passo 6. Então
A^2 = \frac{2\cdot 1000}{284245{,}4068} \approx \frac{2000}{284245{,}4068} \approx 0{,}0070359.
Portanto
A \approx \sqrt{0{,}0070359}\approx 0{,}08388\\ \mathrm{m}.
Convertendo para centímetros:
A \approx 8{,}388\\ \mathrm{cm}\approx 8{,}38\\ \mathrm{cm}.

Resposta

(a) \,512\\ \mathrm{W}
(b) \,8{,}38\\ \mathrm{cm}

Exercícios relacionados