Considere uma corda tensa para a qual
está sob uma tensão de
.
(a) Quanta potência deve ser fornecida para a corda a fim de gerar ondas senoidais na frequência de
e uma amplitude de
?
(b) Considerando agora que a corda transfere energia a uma taxa de 1000 W em vez de 512 W. Qual deve ser a amplitude necessária se todos os outros parâmetros permanecem os mesmos?
(R: (a)
).
(a) Quanta potência deve ser fornecida para a corda a fim de gerar ondas senoidais na frequência de
(b) Considerando agora que a corda transfere energia a uma taxa de 1000 W em vez de 512 W. Qual deve ser a amplitude necessária se todos os outros parâmetros permanecem os mesmos?
(R: (a)
Passo 1
O enunciado dá uma corda com massa linear e tensão, e pede duas coisas. Vou listar claramente o que foi dado e o que cada item pede.
Dados fornecidos:
(massa por unidade de comprimento)
(tensão na corda)
(frequência das ondas senoidais)
A amplitude pedida em (a): (converti para metros porque vamos fazer cálculos)
A amplitude pedida em (a):
O que o enunciado pede:
(a) Calcular a potência que deve ser fornecida para manter ondas senoidais na corda com os dados acima.
(b) Se a potência transferida for (em vez do valor de (a)), encontrar a nova amplitude necessária mantendo os outros parâmetros iguais.
(a) Calcular a potência que deve ser fornecida para manter ondas senoidais na corda com os dados acima.
(b) Se a potência transferida for
Passo 2
Entendendo a física e a fórmula que vamos usar (aula rápida, passo a passo).
Quando uma onda transversal senoidal viaja numa corda tensa, a potência média transportada pela onda (energia por segundo que atravessa uma seção da corda) é dada por uma expressão padrão. Vou derivá-la de forma simples para você entender de onde vem.
Quando uma onda transversal senoidal viaja numa corda tensa, a potência média transportada pela onda (energia por segundo que atravessa uma seção da corda) é dada por uma expressão padrão. Vou derivá-la de forma simples para você entender de onde vem.
Considere uma onda viajante do tipo
onde:
-
é a amplitude (metros), -
é o número de onda (rad/m), -
é a frequência angular (rad/s).
A velocidade transversal de uma porção da corda é
A força vertical na corda (tensão projetada) ligada à inclinação é aproximada (pequenas inclinações) por
A potência instantânea que atravessa a seção é produto força × velocidade:
Isso dá
Como a potência que interessa é a média no tempo (porque
oscila), usamos o valor médio
. Assim a potência média é
Passo 3
Conectar constantes físicas. Sabemos que o número de onda e a frequência angular estão relacionados à velocidade de propagação
por
Substituindo em
:
Também lembrando que a velocidade de onda numa corda tensa é
Substituindo
na fórmula anterior podemos escrever a potência média de duas formas equivalentes úteis:
ou
Ambas são equivalentes; eu vou usar a forma
porque já temos
e
e fica simples calcular
primeiro.
Passo 4
Calcular a velocidade de propagação
da onda na corda usando os dados:
Calcule o que está dentro da raiz:
Portanto
Isso é bacana porque deu um número inteiro — sempre bom.
Passo 5
Calcular a frequência angular
a partir da frequência
:
Se precisar de valor numérico aproximado:
Também vamos usar
no cálculo, então
Passo 6
Agora substituímos tudo na fórmula da potência média
Colocando os números (lembre que
):
Multiplicando passo a passo:
Agora a potência média (metade disso):
Arredondando de forma razoável dá
.
Passo 7
Comentário didático rápido: por que esse número parece grande? A potência cresce com
e com
. Para frequências altas e amplitudes relativamente grandes, a corda transporta muita energia. A velocidade
entra de forma linear na expressão que usamos; se a corda fosse mais leve (menor
),
mudaria e o resultado também.
Passo 8
Agora o item (b): queremos achar a amplitude
necessária se a potência média for
, mantendo
,
e
iguais. Partimos da mesma fórmula e isolamos
:
Passo 9
Substituir números em (b). Já calculamos
no Passo 6. Então
Portanto
Convertendo para centímetros:
Resposta
(a)
(b)
(b)