Uma corda possui massa de \mathrm{m}=0,30 \mathrm{~kg} e comprimento total de 6,0 \mathrm{~m}. Uma extremidade da corda está presa a um suporte fixo em uma parede. A outra extremidade passa por uma polia que suspende um corpo de massa 2,0 \mathrm{~kg}, que mantém constante a tensão na corda. Determine a velocidade do pulso se movendo ao longo dessa corda. Para o cálculo da tensão despreza a massa da corda. Use \mathrm{g}=9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.
(R: 19,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ).

Passo 1

Vamos organizar direitinho o que o enunciado dá e o que ele pede. Dados fornecidos: a corda tem massa m_{\text{corda}}=0,30\\ \mathrm{kg} e comprimento total L=6,0\\ \mathrm{m}. Uma extremidade está fixa na parede e a outra passa por uma polia sustentando um corpo de massa M=2,0\\ \mathrm{kg}, que mantém a tensão da corda constante. Para o cálculo da tensão devemos desprezar a massa da corda. A aceleração da gravidade vale g=9,8\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2. O que o problema pede: determinar a velocidade do pulso se movendo ao longo da corda.

Passo 2

Qual fórmula usamos para a velocidade de um pulso em uma corda tensa? Para ondas transversais em uma corda fina e uniforme, a velocidade v do pulso é dada por
v=\sqrt{\dfrac{T}{\mu}},
onde T é a tensão na corda (em newtons) e \mu é a densidade linear de massa da corda (massa por unidade de comprimento, em \mathrm{kg}/\mathrm{m}). Explicando a ideia por trás disso: quanto maior a tensão, mais “esticada” fica a corda e mais rápido o pulso viaja; quanto maior a massa por metro, mais “pesada” é cada porção da corda e mais lento o pulso fica. A fórmula acima resulta da aplicação da segunda lei de Newton a um pequeno segmento da corda e da aproximação de pequenas oscilações — aqui vamos usá-la diretamente, pois é a relação clássica e apropriada para o problema.

Passo 3

Calcular a tensão T. O enunciado diz para desprezar a massa da corda ao calcular T, portanto a tensão é simplesmente o peso do corpo pendurado:
T = M g.
Substituindo os valores:
T = 2,0\cdot 9,8 = 19,6\\ \mathrm{N}.

Passo 4

Calcular a densidade linear de massa \mu. Por definição,
\mu=\dfrac{m_{\text{corda}}}{L}.
Substituindo os valores:
\mu=\dfrac{0,30}{6,0}=0,05\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}.

Passo 5

Substituir T e \mu na fórmula da velocidade e calcular passo a passo:
v=\sqrt{\dfrac{T}{\mu}}=\sqrt{\dfrac{19,6}{0,05}}.
Primeiro a divisão:
\dfrac{19,6}{0,05}=392.
Agora a raiz quadrada. Uma forma prática de calcular é fatorar:
392=49\cdot 8,
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\sqrt{392}=\sqrt{49\cdot 8}=7\sqrt{8}=7\cdot 2\sqrt{2}=14\sqrt{2}.
Como \sqrt{2}\approx 1,4142, temos
v=14\cdot 1,4142\approx 19,798\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
Arredondando com um algarismo decimal (consistente com os dados), obtemos v\approx 19,8\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.

Resposta

19,8\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}

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