Considere uma corda vibrante sujeita à condição de contorno de Dirichlet. Seja u=f(x, t) a amplitude de vibração da corda no ponto x no instante de tempo t. Vamos mostrar que a energia mecânica da corda é uma quantidade conservada. Para isso, siga os seguintes passos.
Multiplique a equação da onda unidimensional por \frac{\partial u}{\partial t}. Em seguida, integre na variável x de 0 a L. Note que \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} \frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial u}{\partial t}\right)-\frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial t}. Conclua que
\frac{d}{d t} \int_{0}^{L}\left[\frac{1}{2} \rho\left(\frac{\partial u}{\partial t}\right)^{2}+\frac{1}{2} T\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^{2}\right] d x=0
A integral acima é denominada energia mecânica da corda. Interprete cada um dos seus termos.

Passo 1

O enunciado pede que se mostre que a energia mecânica da corda é conservada. As informações que temos são:
  • A função u=f(x,t) satisfaz a equação da onda unidimensional (forma física usual)
\rho\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}}=T\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}},
onde \rho é a massa por unidade de comprimento e T é a tensão da corda.
  • Condição de contorno de Dirichlet nas extremidades:
u(0,t)=0,\qquad u(L,t)=0\quad\text{para todo }t.
  • Instrução: multiplicar a equação por \dfrac{\partial u}{\partial t}, integrar em x de 0 a L e usar a identidade fornecida
\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} \frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial u}{\partial t}\right)-\frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial t}.
O objetivo final é obter
\frac{d}{d t}\int_{0}^{L}\left[\frac{1}{2}\rho\left(\frac{\partial u}{\partial t}\right)^{2}+\frac{1}{2}T\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^{2}\right]dx=0
e interpretar os dois termos dentro da integral.

Passo 2

Multiplico a equação da onda por \dfrac{\partial u}{\partial t} e integro em x de 0 a L. Assim,
\int_{0}^{L}\rho\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}}\frac{\partial u}{\partial t}\,dx = \int_{0}^{L}T\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}\frac{\partial u}{\partial t}\,dx.

Passo 3

Trato o membro esquerdo usando a regra da cadeia: para qualquer função v(t)=\dfrac{\partial u}{\partial t}(x,t) vale \dfrac{d}{dt}\big(\tfrac{1}{2}v^{2}\big)=v\,\dfrac{\partial v}{\partial t}. Aplicando isso ponto a ponto em x,
\rho\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}}\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{1}{2}\rho\left(\frac{\partial u}{\partial t}\right)^{2}\right).
Integrando em x
\int_{0}^{L}\rho\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}}\frac{\partial u}{\partial t}\,dx = \frac{d}{dt}\int_{0}^{L}\frac{1}{2}\rho\left(\frac{\partial u}{\partial t}\right)^{2}dx.
Aqui expliquei por que se pode trocar derivada temporal com integral em x: pressupõe-se regularidade suficiente de u, caso usual em problemas físicos.

Passo 4

No membro direito uso a identidade fornecida. Substituindo
\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial u}{\partial t}\right) - \frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial^{2}u}{\partial x\partial t},
temos
\int_{0}^{L}T\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}\frac{\partial u}{\partial t}\,dx = T\int_{0}^{L}\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial u}{\partial t}\right)dx - T\int_{0}^{L}\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial^{2}u}{\partial x\partial t}\,dx.
A primeira integral do lado direito é uma integral de derivada espacial que se transforma em termo de contorno:
T\int_{0}^{L}\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial u}{\partial t}\right)dx = T\left[\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial u}{\partial t}\right]_{x=0}^{x=L}.
Como as condições de contorno são de Dirichlet, u(0,t)=u(L,t)=0 para todo t. Diferenciando em t \dfrac{\partial u}{\partial t}(0,t)=\dfrac{\partial u}{\partial t}(L,t)=0. Logo o produto \dfrac{\partial u}{\partial x}\dfrac{\partial u}{\partial t} avaliado em x=0 e x=L é zero, e o termo de contorno desaparece.

Passo 5

Fica então
\int_{0}^{L}T\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}\frac{\partial u}{\partial t}\,dx = -T\int_{0}^{L}\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial^{2}u}{\partial x\partial t}\,dx.
Mas, novamente usando a regra da cadeia espacial-temporal em cada x,
\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{1}{2}T\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^{2}\right) = T\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial^{2}u}{\partial x\partial t}.
Portanto
- T\int_{0}^{L}\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial^{2}u}{\partial x\partial t}\,dx = -\frac{d}{dt}\int_{0}^{L}\frac{1}{2}T\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^{2}dx.

Passo 6

Agora retorno à igualdade obtida no Passo 2, juntando os resultados dos Passos 3 e 5:
\frac{d}{dt}\int_{0}^{L}\frac{1}{2}\rho\left(\frac{\partial u}{\partial t}\right)^{2}dx = -\frac{d}{dt}\int_{0}^{L}\frac{1}{2}T\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^{2}dx.
Somando ambos os termos do lado esquerdo chega-se à forma desejada
\frac{d}{dt}\int_{0}^{L}\left[\frac{1}{2}\rho\left(\frac{\partial u}{\partial t}\right)^{2} +\frac{1}{2}T\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^{2}\right]dx=0.
Isto mostra que a quantidade dentro da derivada temporal é constante no tempo — ou seja, a energia mecânica total da corda é conservada.

Passo 7

Interpretação física detalhada (cada termo dentro da integral):
  • O termo \dfrac{1}{2}\rho\left(\dfrac{\partial u}{\partial t}\right)^{2} é a densidade linear de energia cinética. Explicando: \rho é a massa por unidade de comprimento (unidade: massa/ compr.), \dfrac{\partial u}{\partial t} é a velocidade transversal (deslocamento vertical por tempo). A energia cinética de um pequeno segmento de comprimento dx vale \tfrac{1}{2}\,(\text{massa do segmento})\times(\text{velocidade})^{2}=\tfrac{1}{2}\rho\,dx\cdot(u_{t})^{2}. Assim integrando em x obtemos a energia cinética total da corda.
  • O termo \dfrac{1}{2}T\left(\dfrac{\partial u}{\partial x}\right)^{2} é a densidade linear de energia potencial elástica (energia de deformação da corda). Explicando: \dfrac{\partial u}{\partial x} é a inclinação (ou estiramento relativo) da corda; para pequenas amplitudes a energia armazenada por unidade de comprimento é proporcional ao quadrado da inclinação, com constante de proporcionalidade ligada à tensão T. Em um modelo discreto isso corresponde à energia de molas que ligam massas vizinhas; no limite contínuo fica \tfrac{1}{2}T(u_{x})^{2}dx como energia potencial de um segmento dx.
  • A soma dos dois integrandos dá a energia mecânica por unidade de comprimento (energia total por comprimento), e a integral em x de 0 a L é a energia mecânica total da corda. A igualdade com derivada temporal nula significa que, enquanto não houver forças externas fazendo trabalho e com extremidades fixas (condições de Dirichlet), a energia total da corda permanece constante no tempo.

Resposta

\frac{d}{dt}\int_{0}^{L}\left[\frac{1}{2}\rho\left(\frac{\partial u}{\partial t}\right)^{2}+\frac{1}{2}T\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^{2}\right]dx=0
Termo 1: \dfrac{1}{2}\rho\left(\dfrac{\partial u}{\partial t}\right)^{2} é a densidade de energia cinética; Termo 2: \dfrac{1}{2}T\left(\dfrac{\partial u}{\partial x}\right)^{2} é a densidade de energia potencial elástica.

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