Considere uma corda vibrante sujeita à condição de contorno de Dirichlet. Seja
a amplitude de vibração da corda no ponto
no instante de tempo
. Vamos mostrar que a energia mecânica da corda é uma quantidade conservada. Para isso, siga os seguintes passos.
Multiplique a equação da onda unidimensional por
. Em seguida, integre na variável
de 0 a
. Note que
. Conclua que
A integral acima é denominada energia mecânica da corda. Interprete cada um dos seus termos.
Multiplique a equação da onda unidimensional por
Passo 1
O enunciado pede que se mostre que a energia mecânica da corda é conservada. As informações que temos são:
- A função
satisfaz a equação da onda unidimensional (forma física usual)
onde
é a massa por unidade de comprimento e
é a tensão da corda.
- Condição de contorno de Dirichlet nas extremidades:
- Instrução: multiplicar a equação por
, integrar em de a e usar a identidade fornecida
O objetivo final é obter
e interpretar os dois termos dentro da integral.
Passo 2
Multiplico a equação da onda por
e integro em
de
a
. Assim,
Passo 3
Trato o membro esquerdo usando a regra da cadeia: para qualquer função
vale
. Aplicando isso ponto a ponto em
,
Integrando em
dá
Aqui expliquei por que se pode trocar derivada temporal com integral em
: pressupõe-se regularidade suficiente de
, caso usual em problemas físicos.
Passo 4
No membro direito uso a identidade fornecida. Substituindo
temos
A primeira integral do lado direito é uma integral de derivada espacial que se transforma em termo de contorno:
Como as condições de contorno são de Dirichlet,
para todo
. Diferenciando em
dá
. Logo o produto
avaliado em
e
é zero, e o termo de contorno desaparece.
Passo 5
Fica então
Mas, novamente usando a regra da cadeia espacial-temporal em cada
,
Portanto
Passo 6
Agora retorno à igualdade obtida no Passo 2, juntando os resultados dos Passos 3 e 5:
Somando ambos os termos do lado esquerdo chega-se à forma desejada
Isto mostra que a quantidade dentro da derivada temporal é constante no tempo — ou seja, a energia mecânica total da corda é conservada.
Passo 7
Interpretação física detalhada (cada termo dentro da integral):
- O termo
é a densidade linear de energia cinética. Explicando: é a massa por unidade de comprimento (unidade: massa/ compr.), é a velocidade transversal (deslocamento vertical por tempo). A energia cinética de um pequeno segmento de comprimento vale . Assim integrando em obtemos a energia cinética total da corda. - O termo
é a densidade linear de energia potencial elástica (energia de deformação da corda). Explicando: é a inclinação (ou estiramento relativo) da corda; para pequenas amplitudes a energia armazenada por unidade de comprimento é proporcional ao quadrado da inclinação, com constante de proporcionalidade ligada à tensão . Em um modelo discreto isso corresponde à energia de molas que ligam massas vizinhas; no limite contínuo fica como energia potencial de um segmento . - A soma dos dois integrandos dá a energia mecânica por unidade de comprimento (energia total por comprimento), e a integral em
de a é a energia mecânica total da corda. A igualdade com derivada temporal nula significa que, enquanto não houver forças externas fazendo trabalho e com extremidades fixas (condições de Dirichlet), a energia total da corda permanece constante no tempo.
Resposta
Termo
:
é a densidade de energia cinética; Termo
:
é a densidade de energia potencial elástica.