Seja u=f(x, t) a temperatura em uma barra de comprimento L no ponto x no instante de tempo t. Utilizando o método de separação de variáveis, resolva a equação do calor para u sujeita à condição de contorno f(0, t)=f(2, t)=0 (Dirichlet) e à condição inicial f(x, 0)=x(2-x).

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (tudo abaixo pegado do enunciado):
  • A função unknown é u=f(x,t), temperatura numa barra de comprimento L com L=2. Ou seja, o domínio espacial é 0\le x\le2.
  • Condições de contorno (Dirichlet homogêneas):
    • f(0,t)=0 para todo t\ge0.
    • f(2,t)=0 para todo t\ge0.
  • Condição inicial:
    • f(x,0)=x(2-x) para 0\le x\le2.
  • O enunciado pede: resolver a equação do calor por separação de variáveis. Aqui vou assumir a equação do calor padrão (difusividade unitária), isto é
\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2},
com as condições acima.

Passo 2

Ideia do método de separação de variáveis (explicação didática):
  • Supõe-se uma solução em forma produto entre uma função só de x e outra só de t:
u(x,t)=X(x)\,T(t).
  • Substituir essa forma na equação do calor transforma a PDE numa relação onde um lado depende apenas de t e outro apenas de x. Isso permite igualar ambos a uma constante (chamada constante de separação) e obter duas ODEs mais simples.
  • Importante: como a equação é linear e as condições de contorno são homogêneas, combinações lineares (séries) das soluções separadas também são soluções — por isso a solução geral será uma soma infinita das soluções separadas associadas aos “modos” de vibração da barra.

Passo 3

Substituição na equação e separação:
  • Inserindo u=X(x)T(t) em \dfrac{\partial u}{\partial t}= \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} obtemos
X(x)\,T'(t)=X''(x)\,T(t).
  • Dividindo por X(x)T(t) (assumindo X e T não nulos) dá
\frac{T'(t)}{T(t)}=\frac{X''(x)}{X(x)}.
  • O membro esquerdo depende só de t e o direito só de x, logo ambos devem ser iguais a uma constante real negativa que chamaremos de -\lambda (escolhemos sinal negativo porque a física do problema com condições de contorno homogêneas conduz a autovalores positivos; isso evita soluções exponencialmente crescentes em t):
\frac{T'(t)}{T(t)}=-\lambda,\qquad \frac{X''(x)}{X(x)}=-\lambda.
Isto dá as duas ODEs separadas:
T'(t)=-\lambda T(t), \qquad X''(x)+\lambda X(x)=0.

Passo 4

Resolver a ODE espacial com as condições de contorno:
  • A ODE espacial é \;X''(x)+\lambda X(x)=0\; com X(0)=0 e X(2)=0.
  • Analisar os casos de \lambda:
    1. \lambda<0: escrevendo \lambda=-\mu^2 leva a soluções forma exponencial \operatorname{cosh},\operatorname{sinh} que não satisfazem simultaneamente as duas condições nulas sem ser a solução trivial X\equiv0. Rejeitamos.
    2. \lambda=0: então X''=0 e X(x)=Ax+B. As condições X(0)=0, X(2)=0 forçam A=B=0, solução trivial. Rejeitamos.
    3. \lambda>0: escrevemos \lambda=\alpha^2. A solução geral é
    X(x)=C\cos(\alpha x)+D\sin(\alpha x).Aplicando X(0)=0 C=0. Então X(x)=D\sin(\alpha x). Aplicando X(2)=0 exige D\sin(2\alpha)=0.Para existirem soluções não-triviais ( D\neq0) precisa-se \sin(2\alpha)=0, i.e. 2\alpha = n\pi,\qquad n=1,2,3,\dotsAssim \alpha = \dfrac{n\pi}{2} e os autovalores são \lambda_n = \left(\dfrac{n\pi}{2}\right)^2,\qquad n=1,2,3,\dotse os autovetores (modos espaciais) correspondentes são X_n(x)=\sin\!\left(\dfrac{n\pi x}{2}\right).

Passo 5

Resolver a ODE temporal associada:
  • Para cada \lambda_n temos a ODE temporal
T_n'(t) = -\lambda_n T_n(t).
  • A solução é exponencial decrescente:
T_n(t)=A_n\exp\!\big(-\lambda_n t\big)=A_n\exp\!\Big(-\Big(\dfrac{n\pi}{2}\Big)^2 t\Big).
  • Portanto, soluções separadas são
u_n(x,t)=A_n \sin\!\left(\dfrac{n\pi x}{2}\right)\exp\!\Big(-\Big(\dfrac{n\pi}{2}\Big)^2 t\Big).

Passo 6

Combinação linear (série) para obter solução geral:
  • Pela linearidade, a solução geral que satisfaz as condições de contorno é a soma (série de Fourier em senos):
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty} a_n \sin\!\left(\dfrac{n\pi x}{2}\right)\exp\!\Big(-\Big(\dfrac{n\pi}{2}\Big)^2 t\Big),
onde os coeficientes a_n serão determinados pela condição inicial u(x,0)=f(x,0)=x(2-x).

Passo 7

Determinar os coeficientes a_n usando a condição inicial:
  • Em t=0 temos
x(2-x)=\sum_{n=1}^{\infty} a_n \sin\!\left(\dfrac{n\pi x}{2}\right).
  • Para séries de senos no intervalo 0\le x\le2 a fórmula dos coeficientes é (normalização padrão):
a_n = \frac{2}{L}\int_{0}^{L} f(x)\sin\!\left(\dfrac{n\pi x}{L}\right)\,dx,
com L=2. Aqui \dfrac{2}{L}=1. Logo
a_n=\int_{0}^{2} x(2-x)\,\sin\!\left(\dfrac{n\pi x}{2}\right)\,dx.
  • Vamos calcular essa integral explicitamente. Para abreviar, defina
\alpha=\dfrac{n\pi}{2}.
Então precisamos calcular
I_n=\int_{0}^{2} (2x-x^2)\sin(\alpha x)\,dx.

Passo 8

Cálculo da integral I_n (integração por partes passo a passo):
  • Primeiro obtenha antiderivadas básicas úteis:
    • \displaystyle \int x\sin(\alpha x)\,dx = -\dfrac{x\cos(\alpha x)}{\alpha}+\dfrac{\sin(\alpha x)}{\alpha^2}+C.
    • \displaystyle \int x^2\sin(\alpha x)\,dx: aplicar por partes
      • Tome u=x^2, dv=\sin(\alpha x)\,dx. Então du=2x\,dx, v=-\dfrac{\cos(\alpha x)}{\alpha}.
      • Assim
      \int x^2\sin(\alpha x)\,dx = -\dfrac{x^2\cos(\alpha x)}{\alpha} + \dfrac{2}{\alpha}\int x\cos(\alpha x)\,dx.
      • Agora \displaystyle \int x\cos(\alpha x)\,dx = \dfrac{x\sin(\alpha x)}{\alpha}+\dfrac{\cos(\alpha x)}{\alpha^2}+C.
      • Substituindo,
      \int x^2\sin(\alpha x)\,dx = -\dfrac{x^2\cos(\alpha x)}{\alpha} + \dfrac{2x\sin(\alpha x)}{\alpha^2} + \dfrac{2\cos(\alpha x)}{\alpha^3}+C.
  • Use essas expressões para montar I_n:
I_n = 2\int_0^2 x\sin(\alpha x)\,dx - \int_0^2 x^2\sin(\alpha x)\,dx.
  • Substituindo as antiderivadas:
I_n = \left[ -\dfrac{2x\cos(\alpha x)}{\alpha} + \dfrac{2\sin(\alpha x)}{\alpha^2} \right]_0^2 - \left[ -\dfrac{x^2\cos(\alpha x)}{\alpha} + \dfrac{2x\sin(\alpha x)}{\alpha^2} + \dfrac{2\cos(\alpha x)}{\alpha^3} \right]_0^2.
  • Agrupando termos e avaliando nos limites x=2 e x=0 (faça com calma):
    • Ao calcular, chega-se (após simplificação algébrica) a
    I_n = \frac{2\big(1-\cos(2\alpha)\big)}{\alpha^3} - \frac{2\sin(2\alpha)}{\alpha^2}.
  • Lembrando que \alpha=\dfrac{n\pi}{2}, temos 2\alpha = n\pi. Assim \sin(2\alpha)=\sin(n\pi)=0 e \cos(2\alpha)=\cos(n\pi)=(-1)^n. Portanto o segundo termo some e
I_n = \frac{2\big(1-(-1)^n\big)}{\alpha^3}.
  • Voltando a \alpha=\dfrac{n\pi}{2}, obtemos
\alpha^3 = \left(\dfrac{n\pi}{2}\right)^3 = \dfrac{n^3\pi^3}{8}.
Logo
a_n = I_n = \frac{2\big(1-(-1)^n\big)}{\dfrac{n^3\pi^3}{8}} = \frac{16\big(1-(-1)^n\big)}{n^3\pi^3}.

Passo 9

Interpretação e simplificação dos coeficientes:
  • Note que se n é par então (-1)^n=1 e 1-(-1)^n=0, logo a_n=0 para n par.
  • Se n é ímpar, (-1)^n=-1 e 1-(-1)^n=2, então para n=2m+1 (com m=0,1,2,\dots)
a_{2m+1}=\frac{16\cdot 2}{(2m+1)^3\pi^3}=\frac{32}{(2m+1)^3\pi^3}.
  • Portanto a série contém apenas os modos ímpares.

Passo 10

Escrever a solução final (junto com comentário físico curto):
  • Substituindo os coeficientes na série, a solução da equação do calor com as condições dadas é
u(x,t)=\sum_{m=0}^{\infty} \frac{32}{(2m+1)^3\pi^3}\, \sin\!\left(\dfrac{(2m+1)\pi x}{2}\right)\, \exp\!\Big(-\dfrac{(2m+1)^2\pi^2}{4}\,t\Big).
  • Observações rápidas e encorajamento: a série converge rapidamente por causa do fator 1/(2m+1)^3 e dos exponenciais decrescentes em t; em prova, escrever os passos de separação, identificação dos autovalores/autofunções e cálculo dos coeficientes via integral é exatamente a estrutura esperada — respira fundo, reescreve devagar cada etapa e resolve as integrais por partes com calma.

Resposta

u(x,t)=\sum_{m=0}^{\infty} \frac{32}{(2m+1)^3\pi^3}\, \sin\!\left(\dfrac{(2m+1)\pi x}{2}\right)\, \exp\!\Big(-\dfrac{(2m+1)^2\pi^2}{4}\,t\Big).

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