Seja
a temperatura em uma barra de comprimento
no ponto
no instante de tempo
. Utilizando o método de separação de variáveis, resolva a equação do calor para
sujeita à condição de contorno
(Dirichlet) e à condição inicial
.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações (tudo abaixo pegado do enunciado):
- A função unknown é
, temperatura numa barra de comprimento com . Ou seja, o domínio espacial é . - Condições de contorno (Dirichlet homogêneas):
-
para todo . -
para todo .
-
- Condição inicial:
-
para .
-
- O enunciado pede: resolver a equação do calor por separação de variáveis. Aqui vou assumir a equação do calor padrão (difusividade unitária), isto é
com as condições acima.
Passo 2
Ideia do método de separação de variáveis (explicação didática):
- Supõe-se uma solução em forma produto entre uma função só de
e outra só de :
- Substituir essa forma na equação do calor transforma a PDE numa relação onde um lado depende apenas de
e outro apenas de . Isso permite igualar ambos a uma constante (chamada constante de separação) e obter duas ODEs mais simples. - Importante: como a equação é linear e as condições de contorno são homogêneas, combinações lineares (séries) das soluções separadas também são soluções — por isso a solução geral será uma soma infinita das soluções separadas associadas aos “modos” de vibração da barra.
Passo 3
Substituição na equação e separação:
- Inserindo
em obtemos
- Dividindo por
(assumindo e não nulos) dá
- O membro esquerdo depende só de
e o direito só de , logo ambos devem ser iguais a uma constante real negativa que chamaremos de (escolhemos sinal negativo porque a física do problema com condições de contorno homogêneas conduz a autovalores positivos; isso evita soluções exponencialmente crescentes em ):
Isto dá as duas ODEs separadas:
Passo 4
Resolver a ODE espacial com as condições de contorno:
- A ODE espacial é
com e . - Analisar os casos de
: -
: escrevendo leva a soluções forma exponencial que não satisfazem simultaneamente as duas condições nulas sem ser a solução trivial . Rejeitamos. -
: então e . As condições , forçam , solução trivial. Rejeitamos. -
: escrevemos . A solução geral é
Aplicando dá . Então . Aplicando exige Para existirem soluções não-triviais ( ) precisa-se , i.e. Assim e os autovalores são e os autovetores (modos espaciais) correspondentes são -
Passo 5
Resolver a ODE temporal associada:
- Para cada
temos a ODE temporal
- A solução é exponencial decrescente:
- Portanto, soluções separadas são
Passo 6
Combinação linear (série) para obter solução geral:
- Pela linearidade, a solução geral que satisfaz as condições de contorno é a soma (série de Fourier em senos):
onde os coeficientes
serão determinados pela condição inicial
.
Passo 7
Determinar os coeficientes
usando a condição inicial:
- Em
temos
- Para séries de senos no intervalo
a fórmula dos coeficientes é (normalização padrão):
com
. Aqui
. Logo
- Vamos calcular essa integral explicitamente. Para abreviar, defina
Então precisamos calcular
Passo 8
Cálculo da integral
(integração por partes passo a passo):
- Primeiro obtenha antiderivadas básicas úteis:
-
-
: aplicar por partes - Tome
, . Então , . - Assim
- Agora
. - Substituindo,
- Tome
-
- Use essas expressões para montar
:
- Substituindo as antiderivadas:
- Agrupando termos e avaliando nos limites
e (faça com calma): - Ao calcular, chega-se (após simplificação algébrica) a
- Lembrando que
, temos . Assim e . Portanto o segundo termo some e
- Voltando a
, obtemos
Logo
Passo 9
Interpretação e simplificação dos coeficientes:
- Note que se
é par então e , logo para par. - Se
é ímpar, e , então para (com )
- Portanto a série contém apenas os modos ímpares.
Passo 10
Escrever a solução final (junto com comentário físico curto):
- Substituindo os coeficientes na série, a solução da equação do calor com as condições dadas é
- Observações rápidas e encorajamento: a série converge rapidamente por causa do fator
e dos exponenciais decrescentes em ; em prova, escrever os passos de separação, identificação dos autovalores/autofunções e cálculo dos coeficientes via integral é exatamente a estrutura esperada — respira fundo, reescreve devagar cada etapa e resolve as integrais por partes com calma.