Considere um corpo de prova construído a partir de uma liga de alumínio com diâmetro inicial igual a 0,505 polegadas e comprimento igual a 2,0 polegadas, cujos resultados de um ensaio de tração estão na Tabela abaixo.
Table 1: Table 6-1 The results of a tensile test of a 0.505-\mathrm{in}. diameter aluminum alloy test bar, initial length \left(l_{0}\right)=2 \mathrm{in}.
\captionsetup{labelformat=empty}
Load (lb) Change in Length (in.) Calculated
Stress (psi) Strain (in./in.)
0 0.000 0 0
1000 0.001 4,993 0.0005
3000 0.003 14,978 0.0015
5000 0.005 24,963 0.0025
7000 0.007 34,948 0.0035
7500 0.030 37,445 0.0150
7900 0.080 39,442 0.0400
8000 (maximum load) 0.120 39,941 0.0600
7950 0.160 39,691 0.0800
7600 (fracture) 0.205 37,944 0.1025
A liga de alumínio possui um comprimento final após a fratura de 2,195 pol e um diâmetro final de 0,398 pol na superfície de fratura. Calcule a ductilidade dessa liga.

Passo 1

Entender o que o enunciado pede e os dados fornecidos. O enunciado dá:
l_0 = 2{,}00\\ \text{pol}
d_0 = 0{,}505\\ \text{pol}
(estes são, respectivamente, o comprimento inicial e o diâmetro inicial, dados no enunciado/table)
l_f = 2{,}195\\ \text{pol}
d_f = 0{,}398\\ \text{pol}
(estes são o comprimento final após fratura e o diâmetro final na superfície de fratura, explicitamente informados no enunciado)
O pedido é: “Calcule a ductilidade dessa liga.”
Observação: em ensaios de tração a “ductilidade” costuma ser quantificada por duas medidas comuns — alongamento percentual (percent elongation) e redução percentual de área (percent reduction in area). Vou calcular ambas, porque ambas são usadas para descrever ductilidade.

Passo 2

Definir as grandezas e as fórmulas que vamos usar, explicando o significado de cada símbolo.
  • Alongamento absoluto (variação de comprimento):
\Delta l = l_f - l_0,
onde \Delta l é a mudança de comprimento, l_f é o comprimento após a fratura e l_0 é o comprimento inicial.
  • Alongamento percentual (percent elongation), que mede quanto o corpo se alongou em porcentagem do comprimento inicial:
\text{Alongamento percentual} = \frac{\Delta l}{l_0}\times 100\%.
Todas as grandezas aqui são em polegadas (mas o fator de porcentagem é adimensional).
  • Área de seção transversal de um corpo cilíndrico (usada para redução de área):
A = \frac{\pi d^2}{4},
onde d é o diâmetro da seção.
  • Redução percentual de área (percent reduction in area):
\text{Redução de área percentual} = \frac{A_0 - A_f}{A_0}\times 100\% = \left(1 - \frac{A_f}{A_0}\right)\times 100\%,çãá
onde A_0 é a área inicial e A_f é a área medida na superfície de fratura.
Obs.: como A é proporcional a d^2 (o fator \pi/4 cancela na razão), podemos usar a forma simplificada
\frac{A_f}{A_0} = \left(\frac{d_f}{d_0}\right)^2,
logo
\text{Redução de área percentual} = \left(1 - \left(\frac{d_f}{d_0}\right)^2\right)\times 100\%.çãá

Passo 3

Calcular o alongamento absoluto e o alongamento percentual passo a passo.
  • Primeiro, o alongamento absoluto:
\Delta l = l_f - l_0 = 2{,}195 - 2{,}000 = 0{,}195\\ \text{pol}.
  • Agora o alongamento percentual:
\text{Alongamento percentual} = \frac{\Delta l}{l_0}\times 100\% = \frac{0{,}195}{2{,}000}\times 100\%.
Fazendo a divisão:
\frac{0{,}195}{2{,}000} = 0{,}0975,
portanto
\text{Alongamento percentual} = 0{,}0975\times 100\% = 9{,}75\%.

Passo 4

Calcular a redução de área usando a fórmula que cancela \pi/4 — é mais simples e evita cálculo desnecessário de áreas.
Usamos a relação
\text{Redução de área percentual} = \left(1 - \left(\frac{d_f}{d_0}\right)^2\right)\times 100\%.çãá
  • Primeiro calcular a razão dos diâmetros:
\frac{d_f}{d_0} = \frac{0{,}398}{0{,}505}.
Vamos dividir com cuidado: \dfrac{398}{505}\approx 0{,}7881188 (convertendo para números sem as casas decimais e dividindo).
  • Elevar ao quadrado:
\left(\frac{d_f}{d_0}\right)^2 = \left(0{,}7881188\right)^2 \approx 0{,}621139.
(ou, exatamente, \dfrac{158404}{255025}\approx 0{,}621139, porque 0{,}398^2=0{,}158404 e 0{,}505^2=0{,}255025.)

Passo 5

Continuar o cálculo da redução de área e obter o valor percentual.
  • Now:
\text{Redução de área percentual} = \left(1 - 0{,}621139\right)\times 100\% = 0{,}378861\times 100\%.çãá
\text{Redução de área percentual} \approx 37{,}8861\%.çãá
Arredondando sensatamente para duas casas decimais (padrão em problemas experimentais), obtemos aproximadamente 37{,}89\%.

Resposta

Alongamento percentual: 9{,}75\%
Redução de área percentual: 37{,}89\%

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