Uma barra cilíndrica com 500 mm de comprimento e 12,7 \mathrm{~mm} de diâmetro será submetida a uma carga de tração. Se a barra não deve sofrer deformação plástica nem um alongamento superior a 1,3 \mathrm{~mm}, quando a carga aplicada for de 29.000 N , quais dos
quatro metais ou ligas listados na tabela a seguir são candidatos possíveis? Justifique sua(s) escolha(s).
Modulus of
Elasticity
(\boldsymbol{G P a})
Yield
Strength
(\boldsymbol{M P a})
Tensile
Strength
(\boldsymbol{M P a})
Material 70 255 420
Aluminum alloy 100 345 420
Brass alloy 110 210 275
Copper 207 450 550
Steel alloy

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos (o que o problema pede):\n
  • Uma barra cilíndrica com comprimento L=500\\ \mathrm{mm} e diâmetro d=12{,}7\\ \mathrm{mm} está submetida a uma carga de tração P=29\,000\\ \mathrm{N}.\n
  • Condições exigidas: a barra não deve sofrer deformação plástica (ou seja, a tensão axial criada deve ser menor que a resistência ao escoamento) e o alongamento total não pode exceder \,1{,}3\\ \mathrm{mm}.\n
  • O enunciado traz uma tabela de materiais com módulo de elasticidade E (em \mathrm{GPa}) e resistência de escoamento \sigma_{y} (em \mathrm{MPa}). Observação importante: ao ler a tabela notei que os números parecem deslocados em relação às linhas de identificação; por isso vou assumir a seguinte correspondência (estou explicando essa suposição porque a tabela na sua forma enviada parece ambígua):\n
    • Aluminum alloy: E=70\\ \mathrm{GPa},\\ \sigma_{y}=255\\ \mathrm{MPa}\n
    • Brass alloy: E=100\\ \mathrm{GPa},\\ \sigma_{y}=345\\ \mathrm{MPa}\n
    • Copper: E=110\\ \mathrm{GPa},\\ \sigma_{y}=210\\ \mathrm{MPa}\n
    • Steel alloy: E=207\\ \mathrm{GPa},\\ \sigma_{y}=450\\ \mathrm{MPa}\n
      (Eu peguei esses dados da tabela enviada e realinhei as linhas porque a impressão da tabela estava deslocada; se você tiver a versão original confirme essa correspondência.)\n
  • Pergunta: quais dos quatro materiais são candidatos possíveis, ou seja, satisfazem simultaneamente \sigma<\sigma_{y} e \delta \le 1{,}3\\ \mathrm{mm} quando P=29\,000\\ \mathrm{N}?

Passo 2

Calcular a área da seção transversal da barra (a barra é circular):\n
Fórmula: A=\pi r^{2}
onde r é o raio. O raio é metade do diâmetro, então r=\frac{d}{2}=\frac{12{,}7}{2}=6{,}35\\ \mathrm{mm}.\n
Calculando a área: A=\pi (6{,}35)^{2}=\pi\cdot 40{,}3225\approx 126{,}7\\ \mathrm{mm}^{2}.

Passo 3

Calcular a tensão axial causada pela carga (tensão média normal):\n
Fórmula: \sigma=\frac{P}{A}
onde \sigma é a tensão em \mathrm{N/mm^{2}} (que numericamente é igual a \mathrm{MPa}), P em \mathrm{N} e A em \mathrm{mm^{2}}.\n
Substituindo: \sigma=\frac{29\,000}{126{,}7}\approx 228{,}9\\ \mathrm{MPa}.
Interpretação: a carga de 29\,000\\ \mathrm{N} gera uma tensão média de cerca de \,228{,}9\\ \mathrm{MPa} na seção.

Passo 4

Verificar a condição de não ocorrer deformação plástica (tensão abaixo da resistência de escoamento):\n
Critério: \sigma<\sigma_{y}.\n
Comparando para cada material (usei os \sigma_{y} que identifiquei no Passo 1):\n
  • Aluminum alloy: \sigma=228{,}9<\sigma_{y}=255\\ \mathrm{MPa} → atende ao critério de escoamento (não plastifica).\n
  • Brass alloy: \sigma=228{,}9<\sigma_{y}=345\\ \mathrm{MPa} → atende.\n
  • Copper: \sigma=228{,}9>\sigma_{y}=210\\ \mathrm{MPa} → NÃO atende (haveria escoamento / deformação plástica).\n
  • Steel alloy: \sigma=228{,}9<\sigma_{y}=450\\ \mathrm{MPa} → atende.\n
    Observação: mesmo que um material passe neste passo, ainda precisa passar no critério do alongamento.

Passo 5

Derivar e explicar a fórmula do alongamento elástico axial (baseada na Lei de Hooke para tração uniaxial):\n
  • Definição de deformação (strain) axial: \varepsilon=\frac{\delta}{L}, onde \delta é o alongamento total e L é o comprimento inicial.\n
  • Lei de Hooke (relacionamento linear tensão-deformação no regime elástico): \sigma=E\,\varepsilon, onde E é o módulo de elasticidade (mesmas unidades de \sigma/\varepsilon).\n
  • Eliminando \varepsilon: \varepsilon=\sigma/E e portanto \delta=\varepsilon L=\frac{\sigma L}{E}.\n
Usando \sigma=P/A obtemos a fórmula prática usada em muitos exercícios: \delta=\frac{P\,L}{A\,E}.\n
Unidades e conversões: E dado em \mathrm{GPa} deve ser convertido para \mathrm{N/mm^{2}} (que é igual a \mathrm{MPa}) para usar P em \mathrm{N}, A em \mathrm{mm^{2}} e L em \mathrm{mm}. A conversão é \,1\\ \mathrm{GPa}=1{,}000\\ \mathrm{N/mm^{2}}.\n

Passo 6

Calcular o alongamento \delta para cada material usando \delta=\dfrac{P\,L}{A\,E}.\n
Primeiro calculemos o numerador comum: P\,L=29\,000\cdot 500=14\,500\,000\\ \mathrm{N\cdot mm}.\n
Agora, para cada material convertendo E para \mathrm{N/mm^{2}} (ou \mathrm{MPa}) e calculando \delta:\n
  • Aluminum alloy: E=70\\ \mathrm{GPa}=70{,}000\\ \mathrm{N/mm^{2}}.\n \delta=\frac{14\,500\,000}{126{,}7\cdot 70{,}000}=\frac{14\,500\,000}{8\,869\,000}\approx 1{,}63\\ \mathrm{mm}.Comparação com limite: 1{,}63>1{,}3\\ \mathrm{mm} → NÃO atende ao limite de alongamento.\n
  • Brass alloy: E=100\\ \mathrm{GPa}=100{,}000\\ \mathrm{N/mm^{2}}.\n \delta=\frac{14\,500\,000}{126{,}7\cdot 100{,}000}=\frac{14\,500\,000}{12\,670\,000}\approx 1{,}14\\ \mathrm{mm}.Comparação: 1{,}14\le 1{,}3\\ \mathrm{mm} → atende ao limite de alongamento.\n
  • Copper: E=110\\ \mathrm{GPa}=110{,}000\\ \mathrm{N/mm^{2}}.\n \delta=\frac{14\,500\,000}{126{,}7\cdot 110{,}000}\approx 1{,}04\\ \mathrm{mm}.Comparação: 1{,}04\le 1{,}3\\ \mathrm{mm} → atenderia ao requisito de alongamento, mas lembrando do Passo 4 o cobre já falhou por escoamento, então é descartado.\n
  • Steel alloy: E=207\\ \mathrm{GPa}=207{,}000\\ \mathrm{N/mm^{2}}.\n \delta=\frac{14\,500\,000}{126{,}7\cdot 207{,}000}\approx 0{,}55\\ \mathrm{mm}.Comparação: 0{,}55\le 1{,}3\\ \mathrm{mm} → atende ao limite de alongamento.\n

Passo 7

Conclusão combinando os dois critérios (tensão abaixo de escoamento E alongamento menor ou igual ao limite):\n
  • Aluminum alloy: passa no critério de tensão (não plastifica) mas falha no critério de alongamento ( 1{,}63\\ \mathrm{mm}>1{,}3\\ \mathrm{mm}) → NÃO é candidato.\n
  • Brass alloy: passa em tensão e passa em alongamento ( \delta\approx 1{,}14\\ \mathrm{mm}) → É candidato.\n
  • Copper: falha em tensão ( \sigma>\sigma_{y}) apesar de passar em alongamento → NÃO é candidato.\n
  • Steel alloy: passa em tensão e em alongamento ( \delta\approx 0{,}55\\ \mathrm{mm}) → É candidato.\n

Resposta

Brass alloy
Steel alloy

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