Uma barra cilíndrica com 500 mm de comprimento e
de diâmetro será submetida a uma carga de tração. Se a barra não deve sofrer deformação plástica nem um alongamento superior a
, quando a carga aplicada for de 29.000 N , quais dos
quatro metais ou ligas listados na tabela a seguir são candidatos possíveis? Justifique sua(s) escolha(s).
Modulus of
Elasticity
Yield
Strength
Tensile
Strength
Material
70
255
420
Aluminum alloy
100
345
420
Brass alloy
110
210
275
Copper
207
450
550
Steel alloy
quatro metais ou ligas listados na tabela a seguir são candidatos possíveis? Justifique sua(s) escolha(s).
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| Material | 70 | 255 | 420 | |||||||||
| Aluminum alloy | 100 | 345 | 420 | |||||||||
| Brass alloy | 110 | 210 | 275 | |||||||||
| Copper | 207 | 450 | 550 | |||||||||
| Steel alloy |
Passo 1
Enunciado e dados fornecidos (o que o problema pede):\n
- Uma barra cilíndrica com comprimento
e diâmetro está submetida a uma carga de tração .\n - Condições exigidas: a barra não deve sofrer deformação plástica (ou seja, a tensão axial criada deve ser menor que a resistência ao escoamento) e o alongamento total não pode exceder
.\n - O enunciado traz uma tabela de materiais com módulo de elasticidade
(em ) e resistência de escoamento (em ). Observação importante: ao ler a tabela notei que os números parecem deslocados em relação às linhas de identificação; por isso vou assumir a seguinte correspondência (estou explicando essa suposição porque a tabela na sua forma enviada parece ambígua):\n - Aluminum alloy:
\n - Brass alloy:
\n - Copper:
\n - Steel alloy:
\n
(Eu peguei esses dados da tabela enviada e realinhei as linhas porque a impressão da tabela estava deslocada; se você tiver a versão original confirme essa correspondência.)\n
- Aluminum alloy:
- Pergunta: quais dos quatro materiais são candidatos possíveis, ou seja, satisfazem simultaneamente
e quando ?
Passo 2
Calcular a área da seção transversal da barra (a barra é circular):\n
Fórmula:
onde
é o raio. O raio é metade do diâmetro, então
\n
Calculando a área:
Passo 3
Calcular a tensão axial causada pela carga (tensão média normal):\n
Fórmula:
onde
é a tensão em
(que numericamente é igual a
),
em
e
em
.\n
Substituindo:
Interpretação: a carga de
gera uma tensão média de cerca de
na seção.
Passo 4
Verificar a condição de não ocorrer deformação plástica (tensão abaixo da resistência de escoamento):\n
Critério: .\n
Comparando para cada material (usei os que identifiquei no Passo 1):\n
Critério:
Comparando para cada material (usei os
- Aluminum alloy:
→ atende ao critério de escoamento (não plastifica).\n - Brass alloy:
→ atende.\n - Copper:
→ NÃO atende (haveria escoamento / deformação plástica).\n - Steel alloy:
→ atende.\n
Observação: mesmo que um material passe neste passo, ainda precisa passar no critério do alongamento.
Passo 5
Derivar e explicar a fórmula do alongamento elástico axial (baseada na Lei de Hooke para tração uniaxial):\n
- Definição de deformação (strain) axial:
, onde é o alongamento total e é o comprimento inicial.\n - Lei de Hooke (relacionamento linear tensão-deformação no regime elástico):
, onde é o módulo de elasticidade (mesmas unidades de ).\n - Eliminando
: e portanto .\n
Usando
obtemos a fórmula prática usada em muitos exercícios:
\n
Unidades e conversões:
dado em
deve ser convertido para
(que é igual a
) para usar
em
,
em
e
em
. A conversão é
.\n
Passo 6
Calcular o alongamento
para cada material usando
.\n
Primeiro calculemos o numerador comum:
\n
Agora, para cada material convertendo
para
(ou
) e calculando
:\n
- Aluminum alloy:
.\n Comparação com limite: → NÃO atende ao limite de alongamento.\n - Brass alloy:
.\n Comparação: → atende ao limite de alongamento.\n - Copper:
.\n Comparação: → atenderia ao requisito de alongamento, mas lembrando do Passo 4 o cobre já falhou por escoamento, então é descartado.\n - Steel alloy:
.\n Comparação: → atende ao limite de alongamento.\n
Passo 7
Conclusão combinando os dois critérios (tensão abaixo de escoamento E alongamento menor ou igual ao limite):\n
- Aluminum alloy: passa no critério de tensão (não plastifica) mas falha no critério de alongamento (
) → NÃO é candidato.\n - Brass alloy: passa em tensão e passa em alongamento (
) → É candidato.\n - Copper: falha em tensão (
) apesar de passar em alongamento → NÃO é candidato.\n - Steel alloy: passa em tensão e em alongamento (
) → É candidato.\n
Resposta
Brass alloy
Steel alloy
Steel alloy