1. Considere um cristal de GaAs puro. O cristal está em equilíbrio térmico na temperatura ambiente T=300 K e a concentração intrínseca ni=1.8 times 10^6 cm^-3. Devido à energia térmica, pares elétrons-lacuna são produzidos constantemente, existindo um equilíbrio entre as taxas de geração (G) e de recombinação (R), i.e., G=R. Considere: 1) A taxa de recombinação R=r n p, com r approx 2 times 10^-10 cm^3 / s o parâmetro de recombinação elétronlacuna, n a densidade de elétrons livres e p a densidade de lacunas; 2) 50 % das recombinações são radiativas. Assuma por simplicidade que os fótons emitidos têm a energia do bandgap Eg=1.42 eV.
    a) Calcule a densidade de potência óptica (em Watts/cm ^3 ) emitida pelo cristal;
    b) Determine a frequência da luz emitida;
    c) A qual faixa do espectro eletromagnético pertence essa radiação?

Passo 1

Beleza, amigo, vamos resolver um exercício sobre recombinação de elétrons e lacunas em um cristal intrínseco de GaAs a 300 K. O enunciado diz que a concentração intrínseca é ni=1,8times10^6,cm ^-3, que a taxa de recombinação é
R ;=; r,n,p, r=2times10^-10,cm^3/s,
que em equilíbrio térmico n=p=ni e que 50 % das recombinações emitem fótons de energia igual à banda de gap Eg=1,42,eV.
Conteúdo: semicondutores, recombinação eletron–lacuna, geração de potência óptica, relação de Planck.
O que vamos precisar:
1) Calcular R usando n=p=ni.
2) Pegar 50 % disso para taxa radiativa.
3) Multiplicar pela energia do fóton (converter eV em joule) para achar potência por cm ^3.
4) Usar E=hf para achar a frequência.
5) Identificar onde isso fica no espectro eletromagnético.

Passo 2

Primeiro, a taxa total de recombinação por volume é
R ;=; r,n,p ;=; r,ni^2
Como r=2times10^-10,cm^3/s e ni=1,8times10^6,cm^-3,
$$R = 2\times10{-10}\times(1{,}8\times106)^2
   =2\times10^{-10}\times3{,}24\times10^{12}
   =6{,}48\times10^2\;\mathrm{cm}^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}
   =648\;\mathrm{cm}^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}.$$

Passo 3

Só metade é radiativa, então a taxa de emissão de fótons é
Rrm rad = 0,5,R = 0,5times648 =324;cm^-3,s^-1

Passo 4

Cada fóton tem energia Eg=1,42,eV. Como 1,eV =1,602times10^-19,J,
$$E_g =1{,}42\times1{,}602\times10^{-19},\mathrm J
  =2{,}28\times10^{-19}\,\mathrm J\quad(\text{aprox.}).$$  
A potência óptica por cm Eg =1,42times1,602times10^-19, J =2,28times10^-19, J(aprox) é o número de fótons por segundo vezes essa energia:
^3

Passo 5

Agora a frequência da luz:
Eg = h,fLongrightarrow f = Egh
Usando h=6,626times10^-34,J·s,
$$f = \frac{2{,}28\times10{-19}}{6{,}626\times10{-34}}
  \approx3{,}44\times10^{14}\,\mathrm{Hz}.$$

Passo 6

Finalmente, posição no espectro:
$$\lambda = \frac{c}{f}\approx\frac{3\times108}{3{,}44\times10{14}}\approx8{,}7\times10^{-7},\mathrm m
           =870\,\mathrm{nm},$$  
que cai na faixa do infravermelho próximo.

Resposta

a) Papprox7,4times10^-17, W/cm^3
b) fapprox3,4times10^14,Hz
c) Infravermelho próximo (próximo de 870 nm)

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