Considere a curva C de equações paramétricas x=t, \quad y=\frac{2 \sqrt{2}}{3} t^{3 / 2}, \quad z=\frac{t^{2}}{2}, com t \geq 0, e o ponto P_{o}\left(2, \frac{8}{3}, 2\right). Determine:
uma equação do plano \alpha que passa por P_{o} sabendo que a reta tangente a C em P_{o} é perpendicular a \alpha.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido.
O ponto dado é P_{o}=\left(2,\frac{8}{3},2\right).
O que se pede: uma equação do plano \alpha que passa por P_{o} e tal que a reta tangente a C em P_{o} é perpendicular a \alpha.
Resumo do objetivo prático: encontrar o vetor normal do plano (que deve ser paralelo à direção da reta tangente) e então escrever a equação do plano usando esse normal e o ponto P_{o}.
Passo 2
Encontrar o parâmetro t_{0} para o qual a curva passa por P_{o}.
Como x(t)=t e P_{o} tem x=2, segue que
t_{0}=2.
Verifico as outras coordenadas no mesmo t_{0} (para garantir que P_o pertence realmente à curva):
Interpretação geométrica e escolha do vetor normal do plano.
Se a reta tangente à curva em P_{o} é perpendicular ao plano \alpha, então a direção da reta tangente é perpendicular ao plano. Um vetor perpendicular ao plano é exatamente um vetor normal ao plano. Assim podemos tomar o vetor normal do plano como
\mathbf{n}=\mathbf{v}=(1,\,2,\,2).
Passo 5
Escrever a equação do plano usando o vetor normal e o ponto dado.
Fórmula do plano com normal \mathbf{n}=(a,b,c) passando por (x_0,y_0,z_0):
a(x-x_{0})+b(y-y_{0})+c(z-z_{0})=0.
Aqui a=1, b=2, c=2 e (x_{0},y_{0},z_{0})=\left(2,\frac{8}{3},2\right). Substituo:
Agrupo constantes: -2 -\frac{16}{3} -4 = -\frac{34}{3}. Então
x + 2y + 2z -\frac{34}{3}=0.
Forma equivalente multiplicando por 3:
3x + 6y + 6z -34 = 0.
Como verificação rápida, substituindo P_{o} na forma x+2y+2z=\tfrac{34}{3} dá 2+2\cdot\frac{8}{3}+2\cdot2=\frac{34}{3}, confirmação de que o ponto pertence ao plano.