Considere a curva C de equações paramétricas x=t, \quad y=\frac{2 \sqrt{2}}{3} t^{3 / 2}, \quad z=\frac{t^{2}}{2}, com t \geq 0, e o ponto P_{o}\left(2, \frac{8}{3}, 2\right). Determine:
uma equação do plano \alpha que passa por P_{o} sabendo que a reta tangente a C em P_{o} é perpendicular a \alpha.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido.
  • A curva C é dada parametricamente por
\mathbf{r}(t)=\bigl(x(t),y(t),z(t)\bigr)=\left(t,\;\frac{2\sqrt{2}}{3}\,t^{3/2},\;\frac{t^{2}}{2}\right),\quad t\ge 0.
  • O ponto dado é P_{o}=\left(2,\frac{8}{3},2\right).
  • O que se pede: uma equação do plano \alpha que passa por P_{o} e tal que a reta tangente a C em P_{o} é perpendicular a \alpha.
Resumo do objetivo prático: encontrar o vetor normal do plano (que deve ser paralelo à direção da reta tangente) e então escrever a equação do plano usando esse normal e o ponto P_{o}.

Passo 2

Encontrar o parâmetro t_{0} para o qual a curva passa por P_{o}.
Como x(t)=t e P_{o} tem x=2, segue que
t_{0}=2.
Verifico as outras coordenadas no mesmo t_{0} (para garantir que P_o pertence realmente à curva):
y(2)=\frac{2\sqrt{2}}{3}\,(2)^{3/2}=\frac{2\sqrt{2}}{3}\cdot 2\sqrt{2}=\frac{2\cdot 2\cdot (\sqrt{2}\sqrt{2})}{3}=\frac{4\cdot 2}{3}=\frac{8}{3},
z(2)=\frac{2^{2}}{2}=\frac{4}{2}=2.
Portanto P_{o} está na curva em t_{0}=2, como deve ser.

Passo 3

Calcular o vetor tangente \mathbf{r}'(t) da curva (derivada vetorial componente a componente) e avaliá-lo em t_{0}.
Regra usada: derivada de t^{p} é p\,t^{p-1} (regra do expoente).
As derivadas componente a componente são
\frac{dx}{dt}=1,
\frac{dy}{dt}=\frac{2\sqrt{2}}{3}\cdot\frac{d}{dt}\bigl(t^{3/2}\bigr)=\frac{2\sqrt{2}}{3}\cdot\frac{3}{2}\,t^{1/2}.
Simplificando o fator numérico:
\frac{2\sqrt{2}}{3}\cdot\frac{3}{2}=\sqrt{2},
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\frac{dy}{dt}=\sqrt{2}\,t^{1/2}.
E
\frac{dz}{dt}=t.
Agora avalio em t_{0}=2:
\left.\frac{dx}{dt}\right|_{t=2}=1,\qquad \left.\frac{dy}{dt}\right|_{t=2}=\sqrt{2}\,\sqrt{2}=2,\qquad \left.\frac{dz}{dt}\right|_{t=2}=2.
Portanto o vetor tangente em P_{o} é
\mathbf{v}=\mathbf{r}'(2)=(1,\,2,\,2).

Passo 4

Interpretação geométrica e escolha do vetor normal do plano.
Se a reta tangente à curva em P_{o} é perpendicular ao plano \alpha, então a direção da reta tangente é perpendicular ao plano. Um vetor perpendicular ao plano é exatamente um vetor normal ao plano. Assim podemos tomar o vetor normal do plano como
\mathbf{n}=\mathbf{v}=(1,\,2,\,2).

Passo 5

Escrever a equação do plano usando o vetor normal e o ponto dado.
Fórmula do plano com normal \mathbf{n}=(a,b,c) passando por (x_0,y_0,z_0):
a(x-x_{0})+b(y-y_{0})+c(z-z_{0})=0.
Aqui a=1, b=2, c=2 e (x_{0},y_{0},z_{0})=\left(2,\frac{8}{3},2\right). Substituo:
1\,(x-2)+2\!\left(y-\tfrac{8}{3}\right)+2\,(z-2)=0.

Passo 6

Simplificar a equação para uma forma mais bonita.
Expando e somo termos constantes:
x-2 + 2y -\frac{16}{3} + 2z -4 = 0.
Agrupo constantes: -2 -\frac{16}{3} -4 = -\frac{34}{3}. Então
x + 2y + 2z -\frac{34}{3}=0.
Forma equivalente multiplicando por 3:
3x + 6y + 6z -34 = 0.
Como verificação rápida, substituindo P_{o} na forma x+2y+2z=\tfrac{34}{3} 2+2\cdot\frac{8}{3}+2\cdot2=\frac{34}{3}, confirmação de que o ponto pertence ao plano.

Resposta

\;x+2y+2z=\dfrac{34}{3}

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