Seja \mathbf{R}[\mathbf{x}] o espaço vetorial dos polinômios p(x)=\sum_{i=1}^{n} a_{i}, x, n \in \mathbb{N}, com coeficientes a_{i} reais, na variável x.
a. Mostre que a aplicação D: \mathbb{R}[\boldsymbol{x}] \rightarrow \mathbb{R}[\boldsymbol{x}], que associa cada polinômio \mathbf{p} a sua derivada D(p(x))=p^{\prime}(x)=\sum_{i=1}^{n} i a, x^{i-1}, é uma transformação linear.
b. Calcule a sua imagem e seu núcleo.

Passo 1

O enunciado nos dá o espaço vetorial dos polinômios com coeficientes reais e a aplicação derivada. Para ficarmos claros sobre as informações fornecidas e o que se pede, listo-as aqui (corrigindo a notação do enunciado para a forma padrão de polinômios):
  • Um polinômio genérico é dado por \displaystyle p(x)=\sum_{i=0}^{n} a_{i}x^{i}, com n\in\mathbb{N} e a_{i}\in\mathbb{R}.
  • A aplicação D:\mathbb{R}[x]\to\mathbb{R}[x] é definida por
D(p(x))=p'(x)=\sum_{i=1}^{n} i a_{i}x^{\,i-1}.
  • O enunciado pede:
    1. Mostrar que D é uma transformação linear.
    2. Calcular \operatorname{Im}D (imagem) e \ker D (núcleo).

Passo 2

Definição usada (explicada de modo simples). Uma aplicação linear T entre espaços vetoriais satisfaz, para quaisquer polinômios p,q\in\mathbb{R}[x] e quaisquer escalares \alpha,\beta\in\mathbb{R},
T(\alpha p+\beta q)=\alpha T(p)+\beta T(q).
Vou aplicar essa definição ao operador D.

Passo 3

Escolho dois polinômios quaisquer
p(x)=\sum_{i=0}^{n} a_{i}x^{i},\qquad q(x)=\sum_{i=0}^{m} b_{i}x^{i},
e escalares \alpha,\beta\in\mathbb{R}. Então a combinação linear \alpha p+\beta q tem coeficientes que são soma escalar dos coeficientes:
\alpha p(x)+\beta q(x)=\sum_{i=0}^{\max(n,m)} (\alpha a_{i}+\beta b_{i})x^{i},
onde, por convenção, a_{i}=0 para i>n e b_{i}=0 para i>m.

Passo 4

Agora aplico D à combinação \alpha p+\beta q. Usando a regra de derivada termo a termo (a derivada de c x^{i} é i c x^{i-1}), tenho
D(\alpha p+\beta q) = \sum_{i=1}^{\max(n,m)} i(\alpha a_{i}+\beta b_{i})x^{\,i-1}.
Distribuindo o i e separando as somas,
D(\alpha p+\beta q) = \alpha\sum_{i=1}^{\max(n,m)} i a_{i}x^{\,i-1} \;+\; \beta\sum_{i=1}^{\max(n,m)} i b_{i}x^{\,i-1}.
Mas as somas são exatamente D(p) e D(q) (com termos nulos quando índices excedem o grau), portanto
D(\alpha p+\beta q)=\alpha D(p)+\beta D(q).
Isso prova que D é linear. (Comentário amigo: isto é a razão pela qual dizemos que a derivada é um operador linear — ela “passa” por constantes e soma termo a termo.)

Passo 5

Agora vou encontrar o núcleo \ker D. Por definição,
\ker D=\{p\in\mathbb{R}[x] \mid D(p)=0\},
onde 0 é o polinômio nulo (todos coeficientes zero). Seja
p(x)=\sum_{i=0}^{n} a_{i}x^{i}
com D(p)=0. Escrevendo a derivada,
D(p)=p'(x)=\sum_{i=1}^{n} i a_{i}x^{\,i-1}.
Para que p'(x) seja o polinômio nulo, todos os coeficientes devem ser zero: para cada i\ge 1 vale i a_{i}=0. Como i\neq 0, segue a_{i}=0 para todo i\ge 1. Portanto só pode sobrar o coeficiente a_{0}, e
p(x)=a_{0}\quad\text{(constante)}.
O recíproco também é claro: se p(x)=a_{0} então p'(x)=0. Conclusão:
\ker D=\{\,p\in\mathbb{R}[x]\mid p(x)=c,\\ c\in\mathbb{R}\,\}=\operatorname{span}\{1\}.
(Comentário amigo: o núcleo são exatamente os polinômios constantes — faz sentido: derivada de constante é zero e nada mais dá zero.)

Passo 6

Agora a imagem \operatorname{Im}D. Por definição,
\operatorname{Im}D=\{q\in\mathbb{R}[x]\mid \exists p\in\mathbb{R}[x]\text{ com }D(p)=q\}.
Para mostrar \operatorname{Im}D=\mathbb{R}[x] (ou seja, D é sobrejetora), tomo um polinômio arbitrário
q(x)=\sum_{i=0}^{m} b_{i}x^{i}.
Posso construir um antiderivado polinomial de q definindo
p(x)=\sum_{i=0}^{m} \frac{b_{i}}{i+1}\,x^{\,i+1}.
Cada razão \dfrac{b_{i}}{i+1} é bem definida porque i+1\ge 1. Então calculo a derivada de p:
D(p)=p'(x)=\sum_{i=0}^{m} (i+1)\frac{b_{i}}{i+1}\,x^{\,i}=\sum_{i=0}^{m} b_{i}x^{i}=q(x).
Portanto para qualquer q existe p com D(p)=q. Logo
\operatorname{Im}D=\mathbb{R}[x].
(Comentário amigo: isso mostra que todo polinômio tem um primitivo que também é polinomial — por isso a derivada, embora diminua o grau, atinge todos os polinômios possíveis.)

Passo 7

Resumo final rápido e intuitivo:
  • D preserva soma e multiplicação por escalar (derivada é termo a termo), então é linear.
  • \ker D são exatamente as constantes.
  • \operatorname{Im}D é todo \mathbb{R}[x] (surjetora), porque qualquer polinômio tem um polinômio primitivo.

Resposta

D é linear.
\operatorname{Im}D=\mathbb{R}[x].
\ker D=\{p\in\mathbb{R}[x]\mid p(x)=c,\\ c\in\mathbb{R}\}=\operatorname{span}\{1\}.

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