Seja
o espaço vetorial dos polinômios
, com coeficientes
reais, na variável
.
a. Mostre que a aplicação
, que associa cada polinômio
a sua derivada
, é uma transformação linear.
b. Calcule a sua imagem e seu núcleo.
a. Mostre que a aplicação
b. Calcule a sua imagem e seu núcleo.
Passo 1
O enunciado nos dá o espaço vetorial dos polinômios com coeficientes reais e a aplicação derivada. Para ficarmos claros sobre as informações fornecidas e o que se pede, listo-as aqui (corrigindo a notação do enunciado para a forma padrão de polinômios):
- Um polinômio genérico é dado por
, com e . - A aplicação
é definida por
- O enunciado pede:
- Mostrar que
é uma transformação linear. - Calcular
(imagem) e (núcleo).
- Mostrar que
Passo 2
Definição usada (explicada de modo simples). Uma aplicação linear
entre espaços vetoriais satisfaz, para quaisquer polinômios
e quaisquer escalares
,
Vou aplicar essa definição ao operador
.
Passo 3
Escolho dois polinômios quaisquer
e escalares
. Então a combinação linear
tem coeficientes que são soma escalar dos coeficientes:
onde, por convenção,
para
e
para
.
Passo 4
Agora aplico
à combinação
. Usando a regra de derivada termo a termo (a derivada de
é
), tenho
Distribuindo o
e separando as somas,
Mas as somas são exatamente
e
(com termos nulos quando índices excedem o grau), portanto
Isso prova que
é linear. (Comentário amigo: isto é a razão pela qual dizemos que a derivada é um operador linear — ela “passa” por constantes e soma termo a termo.)
Passo 5
Agora vou encontrar o núcleo
. Por definição,
onde
é o polinômio nulo (todos coeficientes zero). Seja
com
. Escrevendo a derivada,
Para que
seja o polinômio nulo, todos os coeficientes devem ser zero: para cada
vale
. Como
, segue
para todo
. Portanto só pode sobrar o coeficiente
, e
O recíproco também é claro: se
então
. Conclusão:
(Comentário amigo: o núcleo são exatamente os polinômios constantes — faz sentido: derivada de constante é zero e nada mais dá zero.)
Passo 6
Agora a imagem
. Por definição,
Para mostrar
(ou seja,
é sobrejetora), tomo um polinômio arbitrário
Posso construir um antiderivado polinomial de
definindo
Cada razão
é bem definida porque
. Então calculo a derivada de
:
Portanto para qualquer
existe
com
. Logo
(Comentário amigo: isso mostra que todo polinômio tem um primitivo que também é polinomial — por isso a derivada, embora diminua o grau, atinge todos os polinômios possíveis.)
Passo 7
Resumo final rápido e intuitivo:
-
preserva soma e multiplicação por escalar (derivada é termo a termo), então é linear. -
são exatamente as constantes. -
é todo (surjetora), porque qualquer polinômio tem um polinômio primitivo.