Considere uma curva fechada simples (é uma curva fechada que não intersecta a si mesma) qualquer
no plano
, com a condição de que ela não passe pelo ponto
. Mostre que
nos seguintes casos:
(a) Se o interior da curva não contém a origem
.
(b) Se o interior da curva contém a origem
. Neste caso, poderá usar o teorema de Cauchy-Goursat para de deformar a curva até que ela coincida com o círculo unitário, sem que isto mude o valor da integral.
(a) Se o interior da curva não contém a origem
(b) Se o interior da curva contém a origem
Passo 1
O enunciado dá uma curva fechada simples
no plano complexo que não passa pelo ponto
. Pede para mostrar que
nos dois casos seguintes:
(a) o interior de não contém a origem
;
(b) o interior de contém a origem
.
Observação importante (necessária para que a integral faça sentido): a função integranda tem singularidade isolada apenas em
. Para que a integral
esteja bem definida, assumimos que a curva
também não passa por
.
Pergunta a responder: em cada um dos dois casos acima, provar que o valor da integral é .
(a) o interior de
(b) o interior de
Observação importante (necessária para que a integral faça sentido): a função integranda
Pergunta a responder: em cada um dos dois casos acima, provar que o valor da integral é
Passo 2
Explico duas ferramentas que vamos usar (com aula curta e intuitiva):
- Teorema de Cauchy-Goursat (versão prática): se
é holomorfa (analítica) em uma região simplesmente conexa que contém o interior de e mesma, então . Intuição: holomorfas têm primitiva local e a integral sobre um laço fecha em zero. - Teorema dos resíduos (forma prática): se
é meromorfa em uma região que contém o interior de exceto por um conjunto finito de pólos no interior, então
onde
é o coeficiente de
na expansão de Laurent de
em torno de
.
Fórmula útil para pólo de ordem em
: se
tem pólo de ordem
em
, então
Fórmula útil para pólo de ordem
Vou aplicar essas ideias ao nosso
. Note que é um pólo de ordem
em
.
Passo 3
Calcule a residue de
em
. Usando a fórmula para pólos de ordem
:
Portanto a única possível contribuição de resíduo (quando
estiver no interior de
) é
.
Passo 4
Agora tratamos os dois casos pedidos, aproveitando as ferramentas explicadas.
Caso geral importante (nota útil para ambos): se
não está no interior de
, então
é holomorfa em toda região interior+contorno de
e pelo Teorema de Cauchy-Goursat
Se, por outro lado,
está no interior de
, aplicamos o Teorema dos Resíduos: a integral é
vezes a soma dos resíduos dos pólos dentro. Mas do Passo 3 sabemos que o resíduo em
é
. Logo a integral também é
. Assim, sem nos preocupar com a posição de
, a integral vale
sempre que
não passa por
.
Passo 5
Agora respondo diretamente os casos solicitados, relacionando com o enunciado que fala sobre a presença ou não da origem no interior de
.
(a) Se o interior de
não contém a origem
: isso não altera o que foi argumentado acima — a integral só depende dos pólos de
(aqui apenas
). Se
não está no interior, a integral é zero por Cauchy-Goursat; se
estiver no interior, a integral é zero porque o resíduo em
é zero. Em qualquer subcaso,
.
(b) Se o interior de
contém a origem
: o enunciado sugere deformar
(pela Cauchy-Goursat) até o círculo unitário sem alterar a integral — isso é permitido desde que continuamente deformemos o contorno em uma região onde
é meromorfa exceto nos pólos isolados; a deformação não cruza nenhum pólo novo além de possivelmente
. Ao final, vale o mesmo argumento do Passo 4: a integral é
vezes soma de resíduos dos pólos internos; o único pólo possível é
e sua contribuição é
. Portanto também aqui
.
Passo 6
Comentário final de didática (pequena recapitulação para gravar a ideia): a razão pela qual essa integral dá
sempre é que o integrando tem um pólo de segunda ordem cuja contribuição ao coeficiente
da expansão de Laurent é nula — ou, dito de outra forma, a função é a derivada (até sinal) de uma função com comportamento que não gera termo de ordem
na expansão, o que anula a integral fechada. Uma verificação direta desta observação:
; isso mostra que
é (menos) derivada de
, e a falta de termo
na expansão força o resíduo a zero.
Resposta
(a)
(b)
(b)