Considere uma curva fechada simples (é uma curva fechada que não intersecta a si mesma) qualquer C no plano (x, y), com a condição de que ela não passe pelo ponto z=0. Mostre que
\int_{C} \frac{d z}{(z-1)^{2}}=0
nos seguintes casos:
(a) Se o interior da curva não contém a origem z=0.
(b) Se o interior da curva contém a origem z=0. Neste caso, poderá usar o teorema de Cauchy-Goursat para de deformar a curva até que ela coincida com o círculo unitário, sem que isto mude o valor da integral.

Passo 1

O enunciado dá uma curva fechada simples C no plano complexo que não passa pelo ponto \,z=0. Pede para mostrar que
\int_{C}\frac{dz}{(z-1)^{2}}=0
nos dois casos seguintes:
(a) o interior de C não contém a origem z=0;
(b) o interior de C contém a origem z=0.
Observação importante (necessária para que a integral faça sentido): a função integranda \,f(z)=\dfrac{1}{(z-1)^{2}}\, tem singularidade isolada apenas em z=1. Para que a integral \int_{C} f(z)\,dz esteja bem definida, assumimos que a curva C também não passa por z=1.
Pergunta a responder: em cada um dos dois casos acima, provar que o valor da integral é \,0.

Passo 2

Explico duas ferramentas que vamos usar (com aula curta e intuitiva):
  • Teorema de Cauchy-Goursat (versão prática): se f é holomorfa (analítica) em uma região simplesmente conexa que contém o interior de C e C mesma, então \int_{C} f(z)\,dz=0. Intuição: holomorfas têm primitiva local e a integral sobre um laço fecha em zero.
  • Teorema dos resíduos (forma prática): se f é meromorfa em uma região que contém o interior de C exceto por um conjunto finito de pólos a_k no interior, então
\int_{C} f(z)\,dz=2\pi i\sum_{k}\operatorname{Res}(f,a_k),
onde \operatorname{Res}(f,a_k) é o coeficiente de (z-a_k)^{-1} na expansão de Laurent de f em torno de a_k.
Fórmula útil para pólo de ordem 2 em a: se f tem pólo de ordem 2 em a, então
\operatorname{Res}(f,a)=\lim_{z\to a}\frac{d}{dz}\left[(z-a)^{2}f(z)\right].
Vou aplicar essas ideias ao nosso f(z)=\dfrac{1}{(z-1)^{2}}. Note que é um pólo de ordem 2 em z=1.

Passo 3

Calcule a residue de f(z)=\dfrac{1}{(z-1)^{2}} em z=1. Usando a fórmula para pólos de ordem 2:
\operatorname{Res}\!\bigl(f,1\bigr)=\lim_{z\to 1}\frac{d}{dz}\Bigl[(z-1)^{2}\cdot \frac{1}{(z-1)^{2}}\Bigr] =\lim_{z\to 1}\frac{d}{dz}[1]=0.
Portanto a única possível contribuição de resíduo (quando z=1 estiver no interior de C) é 0.

Passo 4

Agora tratamos os dois casos pedidos, aproveitando as ferramentas explicadas.
Caso geral importante (nota útil para ambos): se z=1 não está no interior de C, então f é holomorfa em toda região interior+contorno de C e pelo Teorema de Cauchy-Goursat
\int_{C}\frac{dz}{(z-1)^{2}}=0.
Se, por outro lado, z=1 está no interior de C, aplicamos o Teorema dos Resíduos: a integral é 2\pi i vezes a soma dos resíduos dos pólos dentro. Mas do Passo 3 sabemos que o resíduo em z=1 é 0. Logo a integral também é 0. Assim, sem nos preocupar com a posição de z=1, a integral vale 0 sempre que C não passa por z=1.

Passo 5

Agora respondo diretamente os casos solicitados, relacionando com o enunciado que fala sobre a presença ou não da origem no interior de C.
(a) Se o interior de C não contém a origem z=0: isso não altera o que foi argumentado acima — a integral só depende dos pólos de f (aqui apenas z=1). Se z=1 não está no interior, a integral é zero por Cauchy-Goursat; se z=1 estiver no interior, a integral é zero porque o resíduo em 1 é zero. Em qualquer subcaso, \int_{C}\dfrac{dz}{(z-1)^{2}}=0.
(b) Se o interior de C contém a origem z=0: o enunciado sugere deformar C (pela Cauchy-Goursat) até o círculo unitário sem alterar a integral — isso é permitido desde que continuamente deformemos o contorno em uma região onde f é meromorfa exceto nos pólos isolados; a deformação não cruza nenhum pólo novo além de possivelmente z=1. Ao final, vale o mesmo argumento do Passo 4: a integral é 2\pi i vezes soma de resíduos dos pólos internos; o único pólo possível é z=1 e sua contribuição é 0. Portanto também aqui \int_{C}\dfrac{dz}{(z-1)^{2}}=0.

Passo 6

Comentário final de didática (pequena recapitulação para gravar a ideia): a razão pela qual essa integral dá 0 sempre é que o integrando tem um pólo de segunda ordem cuja contribuição ao coeficiente (z-1)^{-1} da expansão de Laurent é nula — ou, dito de outra forma, a função é a derivada (até sinal) de uma função com comportamento que não gera termo de ordem (z-1)^{-1} na expansão, o que anula a integral fechada. Uma verificação direta desta observação: \dfrac{d}{dz}\!\left(\dfrac{1}{z-1}\right) = -\dfrac{1}{(z-1)^{2}}; isso mostra que \dfrac{1}{(z-1)^{2}} é (menos) derivada de \dfrac{1}{z-1}, e a falta de termo (z-1)^{-1} na expansão força o resíduo a zero.

Resposta

(a) 0
(b) 0

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